返り点に対する「括弧」の用法について提案
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「象の鼻が長い。」の「多義性」について。

(01)
(ⅰ)
1  (1)∀x∀y(鼻xy&象y→長x)   A
1  (2)  ∀y(鼻ay&象y→長a)   1UE
1  (3)     鼻ab&象b→長a    2UE
 4 (4)           ~長a    A
14 (5)   ~(鼻ab&象b)      34MTT
14 (6)    ~鼻ab∨~象b      5ド・モルガンの法則
14 (7)     鼻ab→~象b      6含意の定義
1  (8) ~長a→鼻ab→~象b      47CP
  9(9)     鼻ab&~長a      A
  9(ア)         ~長a      9&E
1 9(イ)     鼻ab→~象b      8アMPP
  9(ウ)     鼻ab          9&E
1 9(エ)             ~象b  イウMPP
1  (オ)     鼻ab&~長a→~象b  9エCP
1  (カ)  ∀y(鼻ay&~長a→~象y) オUI
1  (キ)∀x∀y(鼻xy&~長x→~象y) カUI
(ⅱ)
1  (1)∀x∀y(鼻xy&~長x→~象y) A
1  (2)  ∀y(鼻ay&~長a→~象y) 1UE
1  (3)     鼻ab&~長a→~象b  2UE
 4 (4)              象b  A
 4 (5)            ~~象b  4DN
14 (6)   ~(鼻ab&~長a)     35MTT
14 (7)    ~鼻ab∨ 長a      6ド・モルガンの法則
14 (8)     鼻ab→ 長a      7含意の定義
1  (9)  象b→鼻ab→ 長a      48CP
  ア(ア)     鼻ab& 象b      A
  ア(イ)  象b              ア&E
1 ア(ウ)     鼻ab→ 長a      9イMPP
  ア(エ)     鼻ab          ア&E
1 ア(オ)          長a      ウエMPP
1  (カ)     鼻ab&象b→長a    アオMPP
1  (キ)  ∀y(鼻ay&象y→長a)   カUI
1  (ク)∀x∀y(鼻xy&象y→長x)   キUI
従って、
(01)により、
(02)
① ∀x∀y(鼻xy&  象y→ 長x)
② ∀x∀y(鼻xy&~長x→~象y)
に於いて、すなはち、
① すべてのxとyについて、xがyの鼻であって、yが象であるならば、xは長い。
② すべてのxとyについて、xがyの鼻であって、xが長くないならば、yは象ではない。
に於いて、
①=② である。
従って、
(02)により、
(03)
① 鼻は、象ならば長い。
② 鼻は、長くないならば象ではない。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(04)
{象、兎、馬}であるならば、
① 鼻は、象ならば長く、長くないならば象ではない。
② 耳は、兎ならば長く、長くないならば兎ではない。
③ 顔は、馬ならば長く、長くないならば馬ではない。
従って、
(04)により、
(05)
① 鼻は、象長い。
② 耳は、兎長い。
③ 顔は、馬長い。
従って、
(02)~(05)により、
(06)
①{象、兎、馬}であるならば、
①  象の鼻が長い。⇔ ∀x∀y(鼻xy&象y→長x)。
②  兎の鼻が長い。⇔ ∀x∀y(耳xy&兎y→長x)。
③  馬の顔が長い。⇔ ∀x∀y(顔xy&馬y→長x)。
然るに、
(07)
(ⅳ)
1 (1)∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~(象x&鼻yx)→~長y} A
1 (2)  ∀y{象a&鼻ya→長y&~(象a&鼻ya)→~長y} 1UE
1 (3)     象a&鼻ba→長b&~(象a&鼻ba)→~長b  1UE
1 (4)     象a&鼻ba→長b                3&E
1 (5)               ~(象a&鼻ba)→~長b  3&E
 6(6)                          長b  A
 6(7)                        ~~長b  6DN
16(8)              ~~(象a&鼻ba)      57MTT
16(9)                (象a&鼻ba)      8DN
1 (ア)               長b→(象a&鼻ba)    69CP
1 (イ)     象a&鼻ba→長b&長b→(象a&鼻ba)    4ア&I
1 (ウ)  ∀y{象a&鼻ya→長y&長y→(象a&鼻ya)}   イUI
1 (エ)∀x∀y{象x&鼻yx→長y&長y→(象x&鼻yx)}   ウUI
(ⅴ)
1 (1)∀x∀y{象x&鼻yx→長y&長y→(象x&鼻yx)}   A
1 (2)  ∀y{象a&鼻ya→長y&長y→(象a&鼻ya)}   2UE
1 (3)     象a&鼻ba→長b&長b→(象a&鼻ba)    2UE
1 (4)     象a&鼻ba→長b                3&E
1 (5)               長b→(象a&鼻ba)    3&E
 6(6)                 ~(象a&鼻ba)    A
16(7)              ~長b             56MTT
1 (8)               ~(象a&鼻ba)→~長b  67CP
1 (9)     象a&鼻ba→長b&~(象a&鼻ba)→~長b  48&I
1 (ア)  ∀y{象a&鼻ya→長y&~(象a&鼻ya)→~長y} 9UI
1 (イ)∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~(象x&鼻yx)→~長y} アUI
従って、
(07)により、
(08)
④ 象の鼻長い。⇔
④ 象の鼻は長く、象の鼻以外は長くない。⇔
④ ∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~(象x&鼻yx)→~長y}⇔
④ すべてのxとyについて、xが象であり、yがxの鼻であるならば、yは長く、xが象であってyがxの鼻でないならば、yは長くない。
⑤ 象の鼻が長い。⇔
⑤ ∀x∀y{象x&鼻yx→長y&長y→(象x&鼻yx)}⇔
⑤ すべてのxとyについて、xが象であり、yがxの鼻であるならば、yは長く、yが長いならば、xは象であって、yはxの鼻である。
に於いて、
④=⑤ である。
然るに、
(09)
④{象の鼻、机の天板、机の抽斗}であるならば、
④  象の鼻長い。⇔
④  象の鼻は長く、象の鼻以外(机の天板、机の抽斗)は長くない。⇔
④  ∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~(象x&鼻yx)→~長y}⇔
④ すべてのxとyについて、xが象であり、yがxの鼻であるならば、yは長く、xが象であってyがxの鼻でないならば、yは長くない。
(10)
(ⅵ)
1  (1)∀x∀y{象x&鼻yx→長y&(~象x&鼻yx)→~長y} A
1  (2)  ∀y{象a&鼻ya→長y&(~象a&鼻ya)→~長y} 1UE
1  (3)     象a&鼻ba→長b&(~象a&鼻ba)→~長b  1UE
1  (4)     象a&鼻ba→長b                3&E
1  (5)               (~象a&鼻ba)→~長b  3&E
 6 (6)                          長b  A
 6 (7)                        ~~長b  6DN
16 (8)              ~(~象a&鼻ba)       57MPP
16 (9)                象a∨~鼻ba         8ド・モルガンの法則
16 (ア)                 ~鼻ba∨象a        9交換法則
16 (イ)                  鼻ba→象a        ア含意の定義
1  (ウ)               長b→鼻ba→象a         6イCP
  エ(エ)                 (鼻ba&長b)       A
  エ(オ)              長b               エ&E
1 エ(カ)                  鼻ba→象a        ウオMPP
  エ(キ)                  鼻ba           エ&E
1 エ(ク)                        象a     カキMPP
1  (ケ)               (鼻ba&長b)→象a    エクCP
1  (コ)     象a&鼻ba→長b&(鼻ba&長b)→象a    4ケ&I
1  (サ)  ∀y{象a&鼻ya→長y&(鼻ya&長b)→象a}   コUI
1  (シ)∀x∀y{象x&鼻yx→長y&(鼻yx&長y)→象x}     サUI
(ⅶ)
1  (1)∀x∀y{象x&鼻yx→長y&(鼻yx&長y)→象x}     A
1  (2)  ∀y{象a&鼻ya→長y&(鼻ya&長b)→象a}   1UE
1  (3)     象a&鼻ba→長b&(鼻ba&長b)→象a    2UE
1  (4)     象a&鼻ba→長b                3&E
1  (5)               (鼻ba&長b)→象a    3&E
 6 (6)                       ~象a    A
16 (7)              ~(鼻ba&長b)       56MTT
16 (8)              ~鼻ba∨~長b        7ド・モルガンの法則
16 (9)               鼻ba→~長b        8含意の定義
1  (ア)           ~象a→鼻ba→~長b        69CP
  イ(イ)          (~象a&鼻ba)           A
  イ(ウ)           ~象a                イ&E
1 イ(エ)               鼻ba→~長b        アウMPP
  イ(オ)               鼻ba            イ&E
1 イ(カ)                   ~長b        エオMPP
1  (キ)          (~象a&鼻ba)→~長b       イカCP
1  (ク)      象a&鼻ba→長b&(~象a&鼻ba)→~長b  4キ&I
1  (ケ)  ∀y{象a&鼻ya→長y&(~象a&鼻ya)→~長y} クUI
1  (コ)∀x∀y{象a&鼻ya→長y&(~象a&鼻ya)→~長y} ケUI
従って、
(10)により、
(11)
⑥ 象の鼻長い。⇔
⑥ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。⇔
⑥ ∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~象x&鼻yx→~長y}⇔
⑥ すべてのxとyについて、xが象であり、yがxの鼻であるならば、yは長く、xが象ではなくて、yがxの鼻であるならば、yは長くない。
⑦ 象の鼻が長い。⇔
⑦ 象の鼻は長く、鼻が長いならば象である。⇔
⑦ ∀x∀y{象x&鼻yx→長y&(鼻yx&長y)→象x}⇔   
⑦ すべてのxとyについて、xが象であり、yがxの鼻であるならば、yは長く、yがxの鼻であって、長いならば、xは象である。
に於いて、
⑥=⑦ である。
然るに、
(12)
⑥{象の鼻、兎の鼻、馬の鼻}であるならば、
⑥  象の鼻長い。⇔
⑥  象の鼻は長く、象以外の鼻(兎の鼻、馬の鼻)は長くない。⇔
⑥  ∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~象x&鼻yx→~長y}⇔
⑥  すべてのxとyについて、xが象であり、yがxの鼻であるならば、yは長く、xが象ではなくて、yがxの鼻であるならば、yは長くない。
従って、
(06)(09)(12)により、
(13)
①{象、兎、馬}であるならば、
①  象の鼻長い。⇔ ∀x∀y(鼻xy&象y→長x)。
④{象の鼻、机の天板、机の抽斗}であるならば、
④  象の鼻長い。⇔ ∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~(象x&鼻yx)→~長y}。
⑥{象の鼻、 兎の鼻、 馬の鼻}であるならば、
⑥  象の鼻長い。⇔ ∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~象x&鼻yx→~長y}。
といふ、ことになる。
然るに、
(14)
①{象、兎、馬}であるならば、
①  象の鼻長い。⇔ ∀x∀y(鼻xy&象y→長x)。
に関しては、「正確」には、
⑥{象の鼻、兎の鼻、馬の鼻}であるならば、
⑥  象の鼻が長い。⇔ ∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~象x&鼻yx→~長y}。
といふ、ことであるため、
⑥ である。
然るに、
(15)
④  象の鼻長い。⇔ ∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~(象x&鼻yx)→~長y}。
⑥  象の鼻長い。⇔ ∀x∀y{象x&鼻yx→長y& ~象x&鼻yx →~長y}。
に関しては、
④{象の鼻、机の天板、机の抽斗}であるならば、
⑥{象の鼻、 兎の鼻、 馬の鼻}であるならば、
であるため、
①≒⑤ ではなく、
⑥ である。
(16)
④ ~(象x&鼻yx)
⑥   ~象x&鼻yx
は、「正確」には、
④ ~(象x&鼻yx)
⑥ ~(象x)&鼻yx
であって、
④ は、「象の鼻以外」であって、
⑥ は、「象以外の鼻」であるため、
⑥ である。
令和元年12月09日、毛利太。

「象は鼻が長い」の「否定」の「述語論理」。

(01)
① 象は、鼻長い。⇔
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない
従って、
(01)により、
(02)
① 象は鼻が長い。
② ~∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
に於いて、
① の「否定」は、② であり、
② の「否定」は、① である。
然るに、
(03)
(ⅱ)
1     (1)~∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}  A
1     (2)∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}  1量化子の関係
 3    (3)  ~{象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)}  A
  4   (4)   ~象a∨∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)   A
  4   (5)    象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)   4含意の定義
 34   (6)  ~{象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)}&
            {象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)}  35&I
 3    (7) ~{~象a∨∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)}  46RAA
 3    (8)  象a&~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]  7ド・モルガンの法則
 3    (9)  象a                             8&E
 3    (ア)     ~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]  8&E
 3    (イ)     ~∃y(鼻ya&長y)∨~∀z(~鼻za→~長z)   ア、ド・モルガンの法則
 3    (ウ)      ∃y(鼻ya&長y)→~∀z(~鼻za→~長z)   イ含意の定義
   エ  (エ)      ∃y(鼻ya&長y)                 A
 3 エ  (オ)                 ~∀z(~鼻za→~長z)   ウエMPP
 3 エ  (カ)                 ∃z~(~鼻za→~長z)   オ量化子の関係
    キ (キ)                   ~(~鼻ba→~長b)   A
     ク(ク)                      鼻ba∨~長b    A
     ク(ケ)                     ~鼻ba→~長b    ク、含意の定義
    キク(コ)                   ~(~鼻ba→~長b)&
                             (~鼻ba→~長b)   キケ&I
    キ (サ)                    ~(鼻ba∨~長b)   クコRAA
    キ (シ)                     ~鼻ba& 長b    サ、ド・モルガンの法則
    キ (ス)                  ∃z(~鼻za& 長z)   シEI
 3 エ  (セ)                  ∃z(~鼻za& 長z)   カキスEE
 3    (ソ)      ∃y(鼻ya&長y)→ ∃z(~鼻za& 長z)   エセCP
 3    (タ)   象a&∃y(鼻ya&長y)→ ∃z(~鼻za& 長z)   9ソ&I
 3    (チ)∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→ ∃z(~鼻zx& 長z)}  タEI
1     (ツ)∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→ ∃z(~鼻zx& 長z)}  23チEE
(ⅲ)
1     (1)∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→ ∃z(~鼻zx& 長z)}   A
 2    (2)   象a&∃y(鼻ya&長y)→ ∃z(~鼻za& 長z)    A
 2    (3)   象a                             2&E
 2    (4)      ∃y(鼻ya&長y)→ ∃z(~鼻za& 長z)    2&E 
  5   (5)      ∃y(鼻ya&長y)                  A
 25   (6)                  ∃z(~鼻za& 長z)    45MPP
   7  (7)                     ~鼻ba& 長b     A
   7  (8)                    ~(鼻ba∨~長b)    7ド・モルガンの法則
    9 (9)                     ~鼻ba→~長b     A
    9 (ア)                      鼻ba∨~長b     9含意の定義
   79 (イ)                    ~(鼻ba∨~長b)&
                              (鼻ba∨~長b)    8ア&I
   7  (ウ)                   ~(~鼻ba→~長b)    9イRAA
   7  (エ)                 ∃z~(~鼻za→~長z)    ウEI
 25   (オ)                 ∃z~(~鼻za→~長z)    67エEE
 25   (カ)                 ~∀z(~鼻za→~長z)    オ量化子の関係
 2    (キ)      ∃y(鼻ya&長y)→~∀z(~鼻za→~長z)    5カCP
 2    (ク)     ~∃y(鼻ya&長y)∨~∀z(~鼻za→~長z)    キ含意の定義
 2    (ケ)     ~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]   コ、ド・モルガンの法則
 2    (コ)  象a&~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]   3ケ&I
 2    (サ)~{~象a∨[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]}  コ、ド・モルガンの法則
     シ(シ)   象a→ ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)    A
     シ(ス)  ~象a∨[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]   シ含意の定義
 2   シ(セ)~{~象a∨[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]}&
           ~象a∨[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]   サス&I
 2    (ソ)  ~{象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)}   シセRAA
 2    (タ)∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}   ソEI
1     (チ)∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}   12タEE
1     (ツ)~∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}   チ量化子の関係
従って、
(03)により、
(04)
② ~∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
③   ∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}
に於いて、
②=③ である。
従って、
(02)(03)(04)により、
(05)
① 象は鼻が長い。
② ~∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
③   ∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}。
において、
① の「否定」は、② であり、
②=③ である。
従って、
(02)(05)により、
(06)
① 象は鼻が長い。
③ ∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}⇔
③ あるxが象であり、あるyはxの鼻であって、長いならば、あるzはxの、鼻以外であって、長い。
に於いて、
① の「否定」は、③ であり、
③ の「否定」は、① である。
然るに、
(07)
③ あるxが象であり、あるyはxの鼻であって、長いならば、あるzはxの、鼻以外であって、長い。
といふことは、
③ 象(x)は、鼻(y)は長く、鼻以外(z)も長い。
といふ、ことである。
従って、
(06)(07)により、
(08)
① 象は、鼻が長い。
③ 象は、鼻は長く、 鼻以外も長い。
④ 象は、鼻は長いが、鼻以外も長い。といふわけではない。
に於いて、
① の「否定」は、③ であり、
③ の「否定」は、④ である。
従って、
(08)により、
(09)
「二重否定律(DN)」により、
① 象は、鼻が長い。
④ 象は、鼻は長いが、鼻以外も長い。といふわけではない。
に於いて、
①=④ である。
然るに、
(10)
④ 象は、鼻は長いが、鼻以外も長い。といふわけではない。
といふことは、
④ 象は、鼻は長く、 鼻以外は長くない。
といふ、ことである。
然るに、
(01)により、
(11)
もう一度、確認すると、
① 象は、鼻が長い。⇔
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
従って、
(05)(10)(11)により、
(12)
①  ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
④ ~∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}
に於いて、
①=④ でなければ、ならない。
然るに、
(13)
(ⅰ)
1   (1) ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
1   (2)    象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  1UE
 3  (3) ∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)} A
  4 (4)    象a&∃y(鼻ya&長y)→∃z(~鼻za& 長z)  A
  4 (5)    象a                          4&E
  4 (6)       ∃y(鼻ya&長y)→∃z(~鼻za& 長z)  4&E
1 4 (7)       ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  25MPP
1 4 (8)       ∃y(鼻ya&長y)               7&E
1 4 (9)                  ∀z(~鼻za→~長z)  7&E
1 4 (ア)                  ∃z(~鼻za& 長z)  68MPP
1 4 (イ)                     ~鼻ba→~長b   9UE
   ウ(ウ)                     ~鼻ba& 長b   A
   ウ(エ)                     ~鼻ba       ウ&E
   ウ(オ)                           長b   ウ&E
1 4ウ(カ)                          ~長b   イエMPP
1 4ウ(キ)                       長b&~長b   オカ&I
1 4 (ク)                       長b&~長b   アウキEE
13  (ケ)                       長b&~長b   34クEE
1   (コ)~∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)} 3ケRAA
(ⅳ)
1     (1)~∃x{象x& ∃y(鼻yx&長y) →∃z(~鼻zx& 長z)}  A
1     (2)∀x~{象x& ∃y(鼻yx&長y) →∃z(~鼻zx& 長z)}  1量化子の関係
1     (3)  ~{象a& ∃y(鼻ya&長y) →∃z(~鼻za& 長z)}  2UE
 4    (4)  ~[象a& ∃y(鼻ya&長y)]∨∃z(~鼻za& 長z)   A
 4    (5)    象a& ∃y(鼻ya&長y) →∃z(~鼻za& 長z)   4含意の定義
14    (6)  ~{象a& ∃y(鼻ya&長y) →∃z(~鼻za& 長z)}&
            {象a& ∃y(鼻ya&長y) →∃z(~鼻za& 長z)}  35&I
1     (7)~{~[象a& ∃y(鼻ya&長y)]∨∃z(~鼻za& 長z)}  46RAA
1     (8)    象a& ∃y(鼻ya&長y)&~∃z(~鼻za& 長z)   7ド・モルガンの法則
  9   (9)    象a&~∃y(鼻ya&長y)                 A
  9   (ア)       ~∃y(鼻ya&長y)                 9&E
1     (イ)        ∃y(鼻ya&長y)                 8&E
1 9   (ウ)       ~∃y(鼻ya&長y)&∃y(鼻ya&長y)      アイ&I
1     (エ)  ~[象a&~∃y(鼻ya&長y)]                ウRAA
   オ  (オ)    象a                             A
    カ (カ)       ~∃y(鼻ya&長y)                 A
   オカ (キ)    象a&~∃y(鼻ya&長y)                 オカ&I
1  オカ (ク)  ~[象a&~∃y(鼻ya&長y)]&           
            [象a&~∃y(鼻ya&長y)]                エキ&I
1  オ  (ケ)      ~~∃y(鼻ya&長y)                 カクRAA
1  オ  (コ)        ∃y(鼻ya&長y)                 ケDN
1     (サ)     象a→∃y(鼻ya&長y)                 オコCP
1     (シ)                   ~∃z(~鼻za& 長z)   8&E
1     (ス)                   ∀z~(~鼻za& 長z)   シ量化子の関係
1     (セ)                     ~(~鼻ba& 長b)   スUE
1     (ソ)                        鼻ba∨~長b    セ、ド・モルガンの法則
1     (タ)                       ~鼻ba→~長b    ソ含意の定義
1     (チ)                    ∀z(~鼻za→~長z)   タUI
     ツ(ツ)     象a                            A
1    ツ(テ)        ∃y(鼻ya&長y)                 サツMPP
1    ツ(ト)        ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)    チテ&I
1     (ナ)     象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)    ツトCP
1     (ニ)  ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}   ナUI
従って、
(13)により、
(14)
①  ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
④ ~∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}
に於いて、すなはち、
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
④ あるxが象であって、あるyがxの鼻であって、yが長いならば、あるzが、xの、鼻以外であって、長い。といふことはない。
に於いて、
①=④ である。
従って、
(01)~(14)により、
(15)
①  ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
② ~∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
③   ∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}
④ ~∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}
に於いて、
①=④ であり、それ故、「二重否定律(DN)」により、
②=③ である。
令和元年12月07日、毛利太。

「象の鼻が長い」の「否定」の「述語論理」。

(01)
①{象の鼻、兎の鼻、犬の鼻}であるならば、
①  象の鼻長い。
従って、
(02)
①{象の鼻、兎の鼻、犬の鼻}に於いて、
①  象の鼻長い。
といふことは、
①{象の鼻}は長い。
①{兎の鼻}は長くない
①{犬の鼻}は長くない
といふ、ことである。
従って、
(01)(02)により、
(03)
①{象、兎、犬}に於いて、
①  象の鼻長い。
といふことは、
① 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない
といふ、ことである。
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
① 象の鼻長い。⇔
① 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。⇔
① ∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~象x&鼻yx→~長y}⇔
① すべてのxとyについて、xが象であり、yがxの鼻であるならば、yは長く、xが象ではなくて、yがxの鼻であるならば、yは長くない。
然るに、
(05)
(ⅱ)
1      (1)~∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~象x&鼻yx→~長y}     A
1      (2)∃x~∀y{象x&鼻yx→長y&~象x&鼻yx→~長y}     1量化子の関係
1      (3)∃x∃y~{象x&鼻yx→長y&~象x&鼻yx→~長y}     2量化子の関係
 4     (4)  ∃y~{象a&鼻ya→長y&~象a&鼻ya→~長y}     A
  5    (5)    ~{象a&鼻ba→長y&~象a&鼻ba→~長b}     A
  5    (6)    ~(象a&鼻ba→長y)∨~(~象a&鼻ba→~長b)  5ド・モルガンの法則
  5    (7)     (象a&鼻ba→長y)→~(~象a&鼻ba→~長b)  6含意の定義
   8   (8)     (象a&鼻ba→長y)                 A
  58   (9)                 ~(~象a&鼻ba→~長b)  78MPP
    ア  (ア)                ~(~象a&鼻ba)∨~長b)  A
    ア  (イ)                   ~象a&鼻ba→~長b   ア含意の定義
  58ア  (ウ)                 ~(~象a&鼻ba→~長b)&        
                             ~象a&鼻ba→~長b   9イ&I
  58   (エ)              ~[~(~象a&鼻ba)∨~長b]  アウRAA
  58   (オ)                 (~象a&鼻ba)& 長b   エ、ド・モルガンの法則
  58   (カ)                 (~象a&鼻ba & 長b)  オ結合法則
  5    (キ)     (象a&鼻ba→長b)→(~象a&鼻ba& 長b)   8カCP
  5    (ク)  ∃y{(象a&鼻ya→長y)→(~象a&鼻ya& 長y)}  キEI
 4     (ケ)  ∃y{(象a&鼻ya→長y)→(~象a&鼻ya& 長y)}  45クEE
 4     (コ)∃x∃y{(象a&鼻yx→長y)→(~象a&鼻yx& 長y)}  ケEI
1      (サ)∃x∃y{(象x&鼻yx→長y)→(~象x&鼻yx& 長y)}  34コEE
(ⅲ)
1      (1)∃x∃y{(象x&鼻yx→長y)→(~象x&鼻yx& 長y)}  A 
 2     (2)  ∃y{(象a&鼻ya→長y)→(~象a&鼻ya& 長y)}  A
  3    (3)     (象a&鼻ba→長b)→(~象a&鼻ba& 長b)   A
   4   (4)     (象a&鼻ba→長b)                 34MPP
  34   (5)                 (~象a&鼻ba& 長b)   34CP
    6  (6)                  ~象a&鼻ba→~長b    A
  34   (7)                  ~象a&鼻ba        5&E
  346  (8)                          ~長b    67MPP
    6  (9)                           長b    5&E
  346  (ア)                       ~長b&長b    89&I
  34   (イ)                ~(~象a&鼻ba→~長b)   6RAA
  3    (ウ)     (象a&鼻ba→長b)→~(~象a&鼻ba→~長b)  4イCP
  3    (エ)    ~(象a&鼻ba→長b)∨~(~象a&鼻ba→~長b)  ウ含意の定義
  3    (オ)    ~{象a&鼻ba→長y &  ~象a&鼻ba→~長b}  エ、ド・モルガンの法則
  3    (カ)  ∃y~{象a&鼻ya→長y&~象a&鼻ya→~長y}     オEI
 2     (キ)  ∃y~{象a&鼻ya→長y&~象a&鼻ya→~長y}     23カEI
 2     (ク)∃x∃y~{象x&鼻yx→長y&~象x&鼻yx→~長y}     キEI
1      (ケ)∃x∃y~{象x&鼻yx→長y&~象x&鼻yx→~長y}     12クEE
1      (コ)∃x~∀x{象x&鼻yx→長y&~象x&鼻yx→~長y}     ケ量化子の関係
1      (サ)~∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~象x&鼻yx→~長y}     コ量化子の関係
従って、
(05)により、
(06)
② ~∀x∀y{ 象x&鼻yx→長y & ~象x&鼻yx→~長y }
③   ∃x∃y{(象x&鼻yx→長y)→(~象x&鼻yx& 長y)}
に於いて、
②=③ である。
従って、
(04)(05)(06)により、
(07)
① 象の鼻長い。
② ~∀x∀y{ 象x&鼻yx→長y & ~象x&鼻yx→~長y }。
③   ∃x∃y{(象x&鼻yx→長y)→(~象x&鼻yx& 長y)}。
に於いて、
① の「否定」は、
② であり、
②=③ である。
然るに、
(08)
③ ∃x∃y{(象x&鼻yx→長y)→(~象x&鼻yx&長y)}⇔
③ あるxとyについて、xが象であり、yがxの鼻であるならば、yは長い。ならば、xは象ではなくて、yはxの鼻であって、yは長い
といふことは、
③ 象の鼻が長いならば、象以外にも、鼻の長い動物がゐる。
といふ、ことである。
従って、
(07)(08)により、
(09)
① 象の鼻長い。
③ 象以外にも、鼻の長い動物がゐる。
に於いて、
① と ③ は、「矛盾」する。
従って、
(09)により、
(10)
① 象の鼻長い。
③ 象の鼻は長く、象以外に、鼻の長い動物はゐない
に於いて、
①=③ である。
従って、
(10)により、
(11)
① 象の鼻長い。
といふ「日本語」は、
③ 象の鼻は長く、象以外に、鼻の長い動物はゐない
といふ、「意味」である。
従って、
(11)により、
(12)
{象、兎、犬、}に於いて、
① 象の鼻長い。
といふのであれば、
の鼻は、長くはない
従って、
(12)により、
(13)
{象、兎、犬、}に於いて、
① 象の鼻長い。
といふのであれば、
の鼻は、長くはない
(14)
「明日」は、
② 象は鼻長い。⇔
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
② すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
の、「否定」を「計算」してみます。
令和元年12月06日、毛利太。

「象は動物である」の「象」は「主語」である。

(01)
 象は 鼻長い。
「象」はこの文の主題です。「鼻は長い」は全体で「象の説明」を行っているという構造をしています。これがもし「象の鼻が長い」であれば、単に「象の鼻=長い」といっているだけで、「象」が主題となっているとは言えません。ところが、「象は鼻が長い」にすると、「象について言えば、鼻が長い」という意味になります。
(橋本陽介、日本語の謎を解く、2016年、141・142頁)
然るに、
(02)
① すべてのxについて、xが象であるならば、xは動物である。⇔
① すべての象について、象をxとするならば、xは動物である。⇔
① ∀x(象x→動物x)⇔
① 象動物である。
従って、
(01)(02)により、
(03)
   「象は」は「(すべての)象について言えば、」という意味である。
「∀x{象x」は「(すべての)象について言えば、」という意味である。
然るに、
(04)
② Elephants are animals.      ⇔
② ∀x(ELEPHANTx→ANIMALx)⇔
② For all x, if x is an elephant then x is an animal. ⇔
② すべての象について、象をxとするならば、xは動物である。
従って、
(03)(04)により、
(05)
   「象は」は「(すべての)象について言えば、」という意味である。
「Elephants」は「(すべての)象について言えば、」という意味である。
従って、
(01)(05)により、
(06)
   「象は」が「主題」であるならば、
「Elephants」も「主題」である。
然るに、
(07)
② Elephants are animals.
に於いて、
② Elephants は「主語」である。
従って、
(01)~(07)により、
(08)
① 象は動物である。
② Elephants are animals.
に於いて、
「Elephants」が「主語」であるならば、
   「象は」も「主語」である。
(09)
(ⅲ)
1  (1)∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~象x&鼻yx→~長y} A
1  (2)  ∀y{象a&鼻ya→長y&~象a&鼻ya→~長y} 1UE
1  (3)     象a&鼻ba→長b&~象a&鼻ba→~長b  2UE
1  (4)               ~象a&鼻ba→~長b  3&E
 5 (5)                        長b  A
 5 (6)                      ~~長b  5DN
15 (7)             ~(~象a&鼻ba)     46MTT
15 (8)               象a∨~鼻ba      7ド・モルガンの法則
15 (9)               ~鼻ba∨象a      8交換法則
15 (ア)                鼻ba→象a      9含意の定義
1  (イ)             長b→鼻ba→象a      5アCP
  ウ(ウ)             長b&鼻ba         A
  ウ(エ)             長b             ウ&E
1 ウ(オ)                鼻ba→象a      イエMPP
  ウ(カ)                鼻ba         ウ&E
1 ウ(キ)                    象a      オカMPP
1  (ク)             長b&鼻ba→象a      ウキCP
1  (ケ)     象a&鼻ba→長b              3&E
1  (コ)     象a&鼻ba→長b&長b&鼻ba→象a    クケ&I
1  (サ)  ∀y{象a&鼻ya→長y&長y&鼻ya→象a}   コUI
1  (シ)∀x∀y{象x&鼻yx→長y&長y&鼻yx→象x}   サUI
1  (〃)すべてのxとyについて、xが象であり、yがxの鼻であるならば、yは長く、yが長く、yがxの鼻ならば、xは象である。 サUI
1  (〃)象の鼻ならば長く、長い鼻ならば、象である。       サUI
(ⅳ)
1  (1)∀x∀y{象x&鼻yx→長y&長y&鼻yx→象x}   A
1  (2)  ∀y{象a&鼻ya→長y&長y&鼻ya→象a}   1UE
1  (3)     象a&鼻ba→長b&長b&鼻ba→象a    2UE
1  (4)               長b&鼻ba→象a    3&E
 5 (5)                     ~象a    A
15 (6)             ~(長b&鼻ba)      45MTT
15 (7)             ~長b∨~鼻ba       6ド・モルガンの法則
15 (8)             ~鼻ba∨~長b       7交換法則
15 (9)              鼻ba→~長b       8含意の定義
1  (ア)          ~象a→鼻ba→~長b       59CP
  イ(イ)          ~象a&鼻ba           A
  イ(ウ)          ~象a               イ&E
1 イ(エ)              鼻ba→~長b       アウMPP
  イ(オ)              鼻ba           イ&E
1 イ(カ)                  ~長b       エオMPP
1  (キ)          ~象a&鼻ba→~長b       イカCP
1  (ク)     象a&鼻ba→長b              3&E
1  (ケ)     象a&鼻ba→長b&~象a&鼻ba→~長b  キク&I
1  (コ)  ∀y{象a&鼻ya→長y&~象a&鼻ya→~長y} ケUI
1  (サ)∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~象x&鼻yx→~長y} コUI
1  (〃)すべてのxとyについて、xが象であり、yがxの鼻であるならば、yは長く、xが象ではなくて、yがxの鼻であるならば、yは長くない。
従って、
(09)により、
(10)
③ ∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~象x&鼻yx→~長y}
④ ∀x∀y{象x&鼻yx→長y& 長y&鼻yx→ 象x}
に於いて、すなはち、
③ すべてのxとyについて、xが象であり、yがxの鼻であるならば、yは長く、xが象ではなくて、yがxの鼻であるならば、yは長くない。
④ すべてのxとyについて、xが象であり、yがxの鼻であるならば、yは長く、yが長く、yがxの鼻ならば、xは象である。
に於いて、
③=④ である。
従って、
(10)により、
(11)
③ すべてのxとyについて、xが象であり、yがxの鼻であるならば、yは長く、xが象ではなくて、yがxの鼻であるならば、yは長くない。
④ すべてのxとyについて、xが象であり、yがxの鼻であるならば、yは長く、yが長く、yがxの鼻ならば、xは象である。
に於いて、すなはち、
③ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない
④ 象の鼻は長く、長い鼻ならば象である。
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(12)
{馬、兎、象}であるならば、
③ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない
④ 象の鼻は長く、長い鼻ならば象である。
然るに、
(13)
{馬、兎、象}であるならば、
① 顔は、馬は長く、馬以外(兎と象)は長くない
② 耳は、兎は長く、兎以外(馬と象)は長くない
③ 鼻は、象は長く、象以外(馬と兎)は長くない
従って、
(13)により、
(14)
{馬、兎、象}であるならば、
① 馬の顔長く、
② 兎の耳長く、
③ 象の鼻長い。
従って、
(10)~(14)により、
(15)
③ 象の鼻長い。⇔
③ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。⇔
③ ∀x∀y{象x&鼻yx→長y&~象x&鼻yx→~長y}⇔
③ すべてのxとyについて、xが象であり、yがxの鼻であるならば、yは長く、xが象ではなくて、yがxの鼻であるならば、yは長くない。
といふ「等式」が成立する。
従って、
(15)により、
(16)
④ 象の鼻は長い。⇔
④ ∀x∀y{象x&鼻yx→長y}⇔
④ すべてのxとyについて、xが象であり、yがxの鼻であるならば、yは長い。
といふ「等式」が成立する。
従って、
(15)(16)により、
(17)
「番号」を付け直すと、
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない
といふ「等式」が成立する。
従って、
(14)(17)により、
(18)
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない
に於いて、
① の{変域(ドメイン)}は{象}だけであって、
② の{変域(ドメイン)}は{馬}&{兎}&{象}である。
従って、
(19)
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない
に於いて、
① は、「象」だけを「取り上げてゐる」が、
② は、「象、兎、馬」に「言及」してゐる。
従って、
(19)により、
(20)
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない
に於いて、
① は、「象の鼻」を「話題(主題)」にしてゐるが、
② は、「象の鼻と、その他の鼻」を「話題(主題)」にしてゐる。
従って、
(20)により、
(21)
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
に於いて、「象の鼻」を「主題」にしてゐるのは、「どちらか」と問はれるならば、
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
が、さうである。
然るに、
(08)により、
(22)
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
に於いても、
①「象の鼻」は、「主語(Subject)」である。
然るに、
(23)
② 象の鼻長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない
であるが故に、
③   鼻長い。⇔   鼻は長く、鼻以外は長くない
でなければ、ならない。
従って、
(23)により、
(24)
③   鼻長い。⇔   鼻は長く、鼻以外は長くない
であるが故に、
③ 象は鼻長い。⇔ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない
でなければ、ならない。
従って、
(24)により、
(25)
① 象は鼻長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない
といふ「等式」が、成立する。
従って、
(26)
② 兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。⇔
② ∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(~耳zx→~長z&耳zx→~鼻zx)}⇔
② すべてのxについて、xが兎であるならば、あるyはxの耳であって長く、すべてのzについて、zがxの耳でないならば、zは長くないが、zはxの鼻ではない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(27)
1     (1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}          A
 2    (2)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(~耳zx→~長z&耳zx→~鼻zx)} A
  3   (3)∃x(象x&兎x)                               A
1     (4)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)           1UE
 2    (5)   兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(~耳za→~長z&耳za→~鼻za)  2UE
   6  (6)   象a&兎a                                A
   6  (7)   兎a                                   6&E
   6  (8)      兎a                                6&E
1  6  (9)      ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)           47MPP
 2 6  (ア)      ∃y(耳ya&長y)&∀z(~耳za→~長z&耳za→~鼻za)  58MPP
1  6  (イ)      ∃y(鼻ya&長y)                        9&E
    ウ (ウ)         鼻ba&長b                         A
1  6  (エ)                 ∀z(~鼻za→~長z)           9&E
1  6  (オ)                    ~鼻ba→~長b            エUE
 2 6  (カ)      ∃y(耳ya&長y)                        ア&E
     キ(キ)         耳ba&長b                         A
 2 6  (ク)                 ∀z(~耳za→~長z&耳za→~鼻za)  ア&E
 2 6  (ケ)                    ~耳ba→~長b&耳ba→~鼻ba   クUE
 2 6  (コ)                             耳ba→~鼻ba   ケ&E
     キ(サ)         耳ba                            キ&E
 2 6 キ(シ)                                 ~鼻ba   コサMPP
12 6 キ(ス)                         ~長b            オシMPP
    ウ (セ)             長b                         ウ&E
12 6ウキ(ソ)             長b&~長b                     シス&I 
12 6ウ (タ)             長b&~長b                     カキソEE 
12 6  (チ)             長b&~長b                     イウタEE
123   (ツ)             長b&~長b                     36チEE
12    (テ)~∃x(象x&兎x)                              3ツRAA
12    (ト)∀x~(象x&兎x)                              テ量化子の関係
12    (ナ)  ~(象a&兎a)                              トUE
12    (ニ)  ~象a∨~兎a                               ナ、ド・モルガンの法則
12    (ヌ)  ~兎a∨~象a                               ニ交換法則
12    (ネ)   兎a→~象a                               ヌ含意の定義
12    (ノ)∀x(兎x→~象x)                              ネUI
12    (〃)すべてのxについて、xが兎であるならば、xは象ではない。            ネUI
12    (〃)兎は象ではない。                                ネUI
従って、
(25)(26)(27)により、
(28)
1     (1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}          A
 2    (2)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(~耳zx→~長z&耳zx→~鼻zx)} A
12    (ノ)∀x(兎x→~象x)                              ネUI
といふ「推論」、すなはち、
      (1)象は鼻長い。然るに、
      (2)兎は耳長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
      (3)兎は象ではない。 
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
(25)~(28)により、
(29)
「逆」に言へば、
      (1)象は鼻長い。然るに、
      (2)兎は耳長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
      (3)兎は象ではない。 
といふ「推論」は、「妥当」であるが故に、
① 象は鼻長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
といふ「等式」は、「正しい」。
従って、
(29)により、
(30)
仮に、
① 象は鼻長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
といふ「等式」が、「マチガイ」であるならば、「述語論理(Predicate logic)そのもの」が、「正しくはない」。
然るに、
(31)
「一階述語論理の完全性定理」によれば、「述語論理(Predicate logic)」は、「完全」である。
従って、
(30)(31)により、
(32)
① 象は鼻長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
といふ「等式」は、「正しい」。
令和元年12月05日、毛利太。

「鼻は象が長い」の「述語論理」(其の?)。

(01)
(a)
1    (1)    ∀x∀y(鼻yx&長y→象x) A
1    (2)      ∀y(鼻ya&長y→象a) 1UE
1    (3)         鼻ba&長b→象a  2UE
 4   (4)               ~象a  A
  5  (5)         鼻ba&長b     A
1 5  (6)                象a  35MPP
145  (7)            ~象a&象a  46&I
14   (8)       ~(鼻ba&長b)    57RAA
14   (9)        ~鼻ba∨~長b    8ド・モルガンの法則
14  (ア)         鼻ba→~長b    9含意の定義
1   (イ)     ~象a→鼻ba→~長b    4アCP
   ウ(ウ)     ~象a&鼻ba        A
   ウ(エ)     ~象a            ウ&E
1  ウ(オ)         鼻ba→~長b    イエMPP
   ウ(カ)         鼻ba        ウ&E
1  ウ(キ)             ~長b    オカMPP
1   (ク)     ~象a&鼻ba→~長b    ウキCP
1   (ケ)  ∀y{~象a&鼻ya→~長y}   クUI
1   (コ)∀x∀y{~象x&鼻yx→~長y}   ケUI
(b)
1   (1)∀x∀y{~象x&鼻yx→~長y}   A
1   (2)  ∀y{~象a&鼻ya→~長y}   1UE
1   (3)     ~象a&鼻ba→~長b    2UE
 4  (4)         鼻ba& 長b    A
 4  (5)         鼻ba        4&E
 4  (6)              長b    4&E
  7 (7)     ~象a            A
 47 (8)     ~象a&鼻ba        57&E
147 (9)             ~長b    38MPP
147 (ア)          長b&~長b    69&I
14  (イ)    ~~象a            7アRAA
14  (ウ)      象a                        イDN
1   (エ)       鼻ba&長b→象a    4ウCP
1   (オ)    ∀y(鼻ya&長y→象a)   エUI
1   (カ)  ∀x∀y(鼻yx&長y→象x)   オUI
従って、
(01)により、
(02)
(a)∀x∀y( 鼻yx&長y→ 象x)
(b)∀x∀y(~象x&鼻yx→~長y)
に於いて、
(a)=(b) である。
従って、
(02)により、
(03)
{象、兎、キリン}であるとして、
① すべてのxとyについて、yがxの鼻であって、yが長いならば、xは象である。
② すべてのxとyについて、yがxの耳であって、yが長いならば、xは兎である。
③ すべてのxとyについて、yがxの首であって、yが長いならば、xはキリンである。
といふ「命題」は、
④ すべてのxとyについて、xが象ではなく、  yがxの鼻であるならば、yは長くない。
⑤ すべてのxとyについて、xが兎ではなく、  yがxの耳であるならば、yは長くない。
⑥ すべてのxとyについて、xがキリンではなく、yがxの首であるならば、yは長くない。
といふ「命題」に、「等しい」。
然るに、
(04)
{象、兎、キリン}であるとして、
① すべてのxとyについて、yがxの鼻であって、yが長いならば、xは象である。
④ すべてのxとyについて、xが象ではなく、yがxの鼻であるならば、yは長くない。
といふことは、
① 鼻が(の)長いのは象である。
④ 象の鼻以外は長くない
といふことである。
然るに、
(05)
{象、兎、キリン}であるとして、
① 鼻が(の)長いのは象である。
④ 象の鼻以外は長くない
といふことは「真(本当)」であり、
然るに、
(06)
① 鼻が(連体助詞)長いのは象である。
といふことは、
① 鼻は(係助詞)象(格助詞)長い。
といふ、ことである。
従って、
(05)(06)により、
(07)
{象、兎、キリン}であるとして、
① 鼻は象長い。
② 耳は兎長い。
③ 首はキリン長い。
④ 象の鼻以外は長くない
⑤ 兎の耳以外は長くない
⑥ キリンの首以外は長くない
に於いて、
①=④ であって、
②=⑤ であって、
③=⑥ である。
従って、
(07)により、
(08)
{象、兎、キリン}であるとして、
① 鼻は象長い。
② 耳は兎長い。
③ 首はキリン長い。
④ 象の鼻以外は長くない
⑤ 兎の耳以外は長くない
⑥ キリンの首以外は長くない
に於いて、
①=④ であって、
②=⑤ であって、
③=⑥ である。
従って、
(08)により、
(09)
{象、兎、キリン}であるとして、
① 象の鼻長い。
② 兎の耳長い。
③ キリンの首長い。
④ 象の鼻以外は長くない
⑤ 兎の耳以外は長くない
⑥ キリンの首以外は長くない
に於いて、
①=④ であって、
②=⑤ であって、
③=⑥ である。
従って、
(09)により、
(10)
{象、兎、キリン}であるとして、
① 象の鼻長い。
② 兎の耳長い。
③ キリンの首長い。
④ 象の鼻は長く、象の鼻以外は長くない
⑤ 兎の耳は長く、兎の耳以外は長くない
⑥ キリンの首は長く、キリンの首以外は長くない
に於いて、
①=④ であって、
②=⑤ であって、
③=⑥ である。
従って、
(10)により、
(11)
① ABである。
② AはBであり、A以外はBでない
に於いて、
①=② である。
令和元年12月03日、毛利太。
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