返り点に対する「括弧」の用法について提案
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「素朴・対偶論」と「消去法」と「順、逆、裏、対偶」。

(01)
「乗法(連言)の交換法則」により、
①(であって、Qでない。)
②(Qでなくて、である。)
に於いて、
①=② である。
従って、
(01)により、
(02)
①(Pであって、でない。)といふことはない。
②(でなくて、Pである。)といふことはない。
に於いても、
①=② である。
然るに、
(03)
①(あって、Qでない。)といふことはない
②(Qでなくてある。)といふことはない
といふことは、
①  Pであるならばある
②  ないならばPでない
といふことに、他ならない。
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
①(Pであって、Qでない。)といふことはない。
②(Qでなくて、Pである。)といふことはない。
に於いて、
①=② である。が故に、
①  PであるならばQである。
②  QでないならばPでない。
に於いても、
①=② であるものの、この「論証」を、「素朴・対偶論」とする。
従って、
(01)~(04)により、
(05)
「素朴・対偶論」の「妥当性」は、
「乗法(連言)の交換法則」の「妥当性」に由来する。
然るに、
(06)
「乗法(連言)の交換法則」ではなく、
加法(選言)の交換法則」により、
①(であるか、Qである。)
②(Qであるか、である。)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(07)
① Pであるか、Qである。然るに、Pでない。故に、Qである
② Qであるか、Pである。然るに、Qでない。故に、Pである
といふ「選言三段論法(消去法)」は、「妥当」である。
然るに、
(08)
① Pでない。故に、Qである。
② Qでない。故に、Pである。
といふことは、
③ Pでないならば、Qである。
④ Qでないならば、Pである。
といふことを、「前提」とする。
従って、
(06)(07)(08)により、
(09)
① Pであるか、Qである。
② Qであるか、Pである。
といふ「選言命題」は、「順番」に、
③ Pでないならば、Qである。
④ Qでないならば、Pである。
といふ「仮言命題」に、「等しい」。
従って、
(09)により、
(10)
「記号」で書くと、
① P∨Q
② Q∨P
といふ「選言命題」は、「順番」に、
③ ~P→Q
④ ~Q→P
といふ「仮言命題」に、「等しい」。
然るに、
(11)
(ⅰ)
1     (1)   P∨ Q   A
 2    (2)  ~P&~Q   A
  3   (3)   P      A
 2    (4)  ~P      2&E
 23   (5)   P&~P   34&I
  3   (6)~(~P&~Q)  25RAA
   7  (7)      Q   A
 2    (8)     ~Q   2&E
 2 7  (9)   Q&~Q   78&I
   7  (ア)~(~P&~Q)  29RAA
1     (イ)~(~P&~Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  ~P      A
     エ(エ)     ~Q   A
    ウエ(オ)  ~P&~Q   ウエ&I
1   ウエ(カ)~(~P&~Q)&
          (~P&~Q)  6オ&I
1   ウ (キ)    ~~Q   ウRAA
1   ウ (ケ)      Q   キDN
1     (コ)  ~P→ Q   ウケCP
(ⅲ)
1     (1)  ~P→Q   A
 2    (2) ~(P∨Q)  A
  3   (3)   P     A
  3   (4)   P∨Q   3∨I
 23   (5) ~(P∨Q)&
           (P∨Q)  14&I
 2    (5)  ~P     3RAA
12    (6)     Q   15MPP
12    (7)   P∨Q   6∨I
12    (8) ~(P∨Q)&
           (P∨Q)  27&I
1     (9)~~(P∨Q)  28&RAA
1     (ア)   P∨Q   9DN
従って、
(11)により、
(12)
「命題計算(Propositional calculus)」の結果も、
①  P∨Q
③ ~P→Q
に於いて、
①=③ である。
従って、
(12)により、
(13)
①  P∨Q
③ ~P→Q
に於いて、
P=Q
Q=P
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
②   Q∨P
④ ~Q→P
に於いて、
②=④ である。
cf.
(S1)証明された定理の任意の代入例に対して、証明が見出され得る。
(E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、69頁)
然るに、
(14)
「加法(選言)の交換法則」により、
① P∨Q
② Q∨P
に於いて、
①=② である。
cf.
(ⅰ)
1  (1)P∨Q A
 2 (2)P   A
 2 (3)Q∨P 2∨I
  3(4)  Q A
  3(5)Q∨P 4∨I
1  (6)Q∨P 12345∨E
(ⅱ)
1  (1)Q∨P A
 2 (2)Q   A
 2 (3)P∨Q 2∨I
  3(4)  P A
  3(5)P∨Q 4∨I
1  (6)P∨Q 12345∨E
従って、
(13)(14)により、
(15)
①  P∨Q
②   Q∨P
③ ~P→Q
④ ~Q→P
に於いて、
①=② であって、
①=③ であって、
②=④ である。
従って、
(15)により、
(16)
③ ~P→Q
④ ~Q→P
に於いて、
③=④ である。
従って、
(16)により、
(17)
③ ~P→Q
④ ~Q→P
に於いて、
P=~P
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
① ~~P→ Q
②  ~Q→~P
に於いて、
①=② である。
従って、
(17)により、
(18)
「二重否定律(DN)」により、
①  P→ Q
② ~Q→~P
に於いて、
①=② である。
従って、
(18)により、
(19)
①  P→ Q
② ~Q→~P
に於いて、
P=~P
Q=~Q
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
③  ~P→ ~Q
④ ~~Q→~~P
に於いて、
③=④ である。
従って、
(19)により、
(20)
「二重否定律(DN)」により、
③ ~P→~Q
④  Q→ P
に於いて、
③=④ である。
従って、
(18)(19)(20)により、
(21)
①  P→ Q
② ~Q→~P
③ ~P→~Q
④  Q→ P
に於いて、
①=② であって、
③=④ である。
然るに、
(22)
P=~P
Q=~Q
といふ「代入(Substitution)」を行ふ。といふことは、
言はば、『裁判の途中で、証人が、自分の証言を、自分で否定してゐる場合』に、「譬へ」ることが出来る。
従って、
(19)(21)(22)により、
(23)
①  P→ Q
② ~Q→~P
③ ~P→~Q
④  Q→ P
に於いて、
①=② であって、
③=④ であるが、
①=③ ではないし、
②=④ でもない
従って、
(24)
「日本語」で言ふならば、
① Pであるならば、Qである。
② Qでないならば、Pでない。
③ Pでないならば、Qでない。
④ Qであるならば、Pである。
に於いて、
①=② であって、
③=④ であるが、
①=③ ではないし、
②=④ でもない
従って、
(25)
「論理学の用語」で言ふと、
①「順」
②「対偶
③「裏」
④「逆」
に於いて、
①=② であって、
③=④ であるが、
①=③ ではないし、
②=④ でもない
従って、
(01)~(25)により、
(26)
論理学で「ある命題が真であるとすると、対偶は真であるが、は必ずしも真ではない」とされています(弁護士と理数系の知識 - 西野法律事務所)。
といふことに、付け加へて、言ふならば、「」の関係も、「対偶」である。といふ、ことになる。
令和02年01月20日、毛利太。

「素朴・対偶論」(Ⅱ)。

(01)
交換法則」により、
①(であって、Qでない。)
②(Qでなくて、である。)
に於いて、
①=② である。
従って、
(01)により、
(02)
①(Pであって、でない。)といふことはない。
②(でなくて、Pである。)といふことはない。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
「日本語話者の直観」として、
①(Pであって、Qでない。)といふことはない
②(Qでなくて、Pである。)といふことはない
といふことは、
① Pであるならば、Qである
② Qでないならば、Pでない
といふことに、他ならない。
従って、
(02)(03)により、
(04)
①(Pであって、Qでない。)といふことはない。
②(Qでなくて、Pである。)といふことはない。
に於いて、
①=② であるが故に、
① Pであるならば、Qである。
② Qでないならば、Pでない。
に於いて、
①=② であるものの、この「等式」を、「素朴・対偶論」とする。
然るに、
(05)
①(Pであって、Qでない。)といふことはない。
②(Qでなくて、Pである。)といふことはない。
といふ「日本語」は、「命題論理の記号」で表すと、
① ~(P&~Q)
② ~(~Q&P)
といふ風に、書くことになる。
然るに、
(06)
(ⅰ)
1  (1)~(P&~Q)  A
 2 (2)  P      A
  3(3)    ~Q   A
 23(4)  P&~Q   23&I
123(5)~(P&~Q)&
       (P&~Q)  14&I
12 (6)   ~~Q   35RAA
12 (7)     Q   6DN
1  (8)  P→ Q   27CP
(ⅱ)
1  (1)  P→ Q   A
 2 (2)  P&~Q   A
 2 (3)  P      2&E
12 (4)     Q   13MPP
 2 (5)    ~Q   2&E
12 (6)  Q&~Q   45&I
1  (7)~(P&~Q)  26RAA
(ⅲ)
1  (1)~(~Q&P)  A
1  (2)~~Q∨~P   1ド・モルガンの法則
1  (3) ~Q→~P   2含意の定義
(ⅳ)
1  (1) ~Q→~P   A
 2 (2) ~Q& P   A
 2 (3) ~Q      2&E
12 (4)    ~P   13CP
 2 (5)     P   2&E
12 (6)  ~P&P   45&I
1  (7)~(~Q&P)  26RAA
従って、
(06)により、
(07)
① ~(P&~Q)
②     P→ Q
③ ~(~Q&P)
④   ~Q→~P
に於いて、
①=② であって、
③=④ である。
然るに、
(08)
(ⅰ)
1  (1)~(P&~Q) A
1  (2) ~P∨  Q    1ド・モルガンの法則
 3 (3) ~P     A
 3 (4)  Q∨~P  3∨I
  5(5)     Q  A
  5(6)  Q∨~P  5∨I
1  (7)  Q∨~P  23456∨E
1  (8)~(~Q&P) 7ド・モルガンの法則
(ⅲ)
1  (1)~(~Q&P) A
1  (2)  Q∨~P  1ド・モルガンの法則
 3 (3)  Q     A
 3 (4) ~P∨ Q  3∨I
  5(5)    ~P  A
  5(6) ~P∨ Q  5∨I
1  (7) ~P∨ Q  23456∨E
1  (8)~(P&~Q) 7ド・モルガンの法則
従って、
(08)により、
(09)
① ~(P&~Q)
③ ~(~Q&P)
に於いて、
①=③ である。
従って、
(07)(09)により、
(10)
① ~(P&~Q)
②     P→ Q
③ ~(~Q&P)
④   ~Q→~P
に於いて、
①=② であって、
③=④ であって、
①=③ である。
従って、
(10)により、
(11)
「番号」を付け直すと、
① ~(P&~Q)
② ~(~Q&P)
に於いて、
①=② であるが故に、
①     P→ Q
②  ~Q→~P
に於いて、
①=② である。
従って、
(05)(11)により、
(12)
① ~(P&~Q)≡(Pであって、Qでない。)といふことはない。
② ~(~Q&P)≡(Qでなくて、Pである。)といふことはない。
に於いて、
①=② であるが故に、
①     P→ Q  ≡Pであるならば、Qである。
②  ~Q→~P ≡Qでないならば、Pでない。
といふ「素朴・対偶論」は、「命題論理(Propositional logic)」としても、「正しい」。
然るに、
(13)
(ⅰ)
1(1)~∃x(象x&~動物x) A
1(2)∀x~(象x&~動物x) 1量化子の関係
1(3)  ~(象a&~動物a) 2UE
1(4)   ~象a∨ 動物a  3ド・モルガンの法則
1(5)    象a→ 動物a  4含意の定義
1(6) ∀x(象x→ 動物x) 5UI
(ⅱ)
1(1) ∀x(象a→ 動物a) A
1(2)    象a→ 動物a  1UE
1(3)   ~象a∨ 動物a  2含意の定義
1(4)  ~(象a&~動物a) 3ド・モルガンの法則
1(5)∀x~(象x&~動物x) 4UI
1(6)~∃x(象x&~動物x) 5量化子の関係
(ⅲ)
1(1)~∃x(~動物x& 象x) A
1(2)∀x~(~動物x& 象x) 量化子の関係
1(3)  ~(~動物a& 象a) 2UE
1(4)   ~~動物a∨~象a  3ド・モルガンの法則
1(5)    ~動物a→~象a  4含意の定義
1(6) ∀x(~動物x→~象x) 5UI
(ⅳ)
1(1) ∀x(~動物x→~象x) A
1(2)    ~動物a→~象a  1UE
1(3)   ~~動物a∨~象a  2含意の定義
1(4)  ~(~動物a& 象a) 3ド・モルガンの法則
1(5)∀x~(~動物x& 象x) 4UI
従って、
(13)により、
(14)
① ~∃x( 象x&~動物x)
②  ∀x( 象x→ 動物x)
③ ~∃x(~動物x& 象x)
④  ∀x(~動物x→~象x)
に於いて、
①=② であって、
③=④ である。
然るに、
(15)
(ⅰ) 
1  (1) ~∃x(象x&~動物x) A
1  (2) ∀x~(象x&~動物x) 1量化子の関係
1  (3)   ~(象a&~動物a) 2UE
1  (4)    ~象a∨ 動物a  3ド・モルガンの法則
 5 (5)    ~象a       A
 5 (6)     動物a∨~象a  5∨I
  7(7)         動物a  A
  7(8)     動物a∨~象a  7∨I
1  (9)     動物a∨~象a  45678∨E
1  (ア)  ~(~動物a& 象a) 9ド・モルガンの法則
1  (イ)∀x~(~動物x& 象x) アUI
1  (ウ)~∃x(~動物x& 象x) イ量化子の関係
(ⅲ)
1  (1)~∃x(~動物x& 象x) 1
1  (2)∀x~(~動物x& 象x) 1量化子の関係
1  (3)  ~(~動物a& 象a) 2UE
1  (4)     動物a∨~象a  3ド・モルガンの法則
 5 (5)     動物a      A
 5 (6)     ~象a∨動物a  5∨I
  7(7)         ~象a  A
  7(8)     ~象a∨動物a  7∨I
1  (9)     ~象a∨動物a  45678∨E
1  (ア)   ~(象a&~動物a) 9ド・モルガンの法則
1  (イ) ∀x~(象x&~動物x) アUI
1  (ウ) ~∃x(象x&~動物x) イUI
従って、
(15)により、
(16)
① ~∃x(象x&~動物x)
③ ~∃x(~動物x&象x)
に於いて、
①=③ である。
従って、
(14)(16)により、
(17)
① ~∃x( 象x&~動物x)
②  ∀x( 象x→ 動物x)
③ ~∃x(~動物x& 象x)
④  ∀x(~動物x→~象x)
に於いて、
①=② であって、
③=④ であって、
①=③ である。
従って、
(18)
「番号」を付け直すと、
① ~∃x( 象x&~動物x)
② ~∃x(~動物x& 象x)
に於いて、
①=② であるが故に、
①  ∀x( 象x→ 動物x)
②  ∀x(~動物x→~象x)
に於いて、
①=② である。
従って、
(18)により、
(19)
① ~∃x( 象x&~動物x)≡(象であって、動物でない。)といふことはない。
② ~∃x(~動物x& 象x)≡(動物でなくて、象である。)といふことはない。
に於いて、
①=② であるが故に、
①  ∀x( 象x→ 動物x)≡象であるならば、動物である。
②  ∀x(~動物x→~象x)≡動物でないならば、象である。
といふ「素朴・対偶論」は、「述語論理(Predicate logic)」としても、「正しい」。
(20)
表紙に、『風が吹けば桶屋が儲かる』と墨で書かれた「古文書」に、
「元和元年1月19日、風吹く。」と墨書かれていゐて、
「元和元年1月20日、儲かる。」と墨で書かれてゐたとすれば、「日付を示す、文字の筆跡の、集合」を考へることが、出来る。
従って、
(20)により、
(21)
「風が吹く日」  ではなく  「風が吹く日の、日付の、筆跡の集合」と、
「桶屋が儲かる日」ではなく「桶屋が儲かる日の、日付の、筆跡の集合」を考へれば、
『風が吹けば桶屋が儲かる』といふ「命題」は、
① ~∃x( 象x&~動物x)≡(象であって、動物でない。)といふことはない。
② ~∃x(~動物x& 象x)≡(動物でなくて、象である。)といふことはない。
①  ∀x( 象x→ 動物x)≡ 象であるならば、動物である。
②  ∀x(~動物x→~象x)≡ 動物でないならば、象である。
といふ「命題」と、「同じ種類命題」であると、見做すことが出来る
然るに、
(22)

① ~∃x( 象x&~動物x)≡(象であって、動物でない。)といふことはない。
② ~∃x(~動物x& 象x)≡(動物でなくて、象である。)といふことはない。
①  ∀x( 象x→ 動物x)≡ 象であるならば、動物である。
②  ∀x(~動物x→~象x)≡ 動物でないならば、象である。
といふ「命題」は、
① 象が存在するならば、象は動物である。
といふ「意味」である。
然るに、
(23)
① 象が存在するならば、象は動物である。
といふことは、
①「象の集合」が、「動物の集合」に、「含まれる」といふことであり、
①「象の集合」が、「動物の集合」に、「含まれる」といふことは、
①「象の集合」が、「動物の集合」の、「部分集合」である。
といふことである。
然るに、
(24)
① 地球上に、ただ一頭の象だけが、存在してゐて、その一頭が、「消滅」すれば、その時点で、「象の集合」は、「空集合φ」である。
然るに、
(25)
①「象の集合」が、「空集合φ」であるならば、
① 象は存在しないのだから、
① 象が存在するならば、象は動物である。
といふ「仮言命題」自体が、「意味をなさない
従って、
(22)~(25)により、
(26)
① ~∃x( 象x&~動物x)≡(象であって、動物でない。)といふことはない。
② ~∃x(~動物x& 象x)≡(動物でなくて、象である。)といふことはない。
①  ∀x( 象x→ 動物x)≡ 象であるならば、動物である。
②  ∀x(~動物x→~象x)≡ 動物でないならば、象である。
といふ「命題」が、
① 象が存在するならば、象は動物である。
といふ「意味」である以上、
① 象が存在しない
といふことが、「確定」してゐるのであれば、その場合は、「これまでの説明」は、「意味」をなさない。
従って、
(20)~(26)により、
(27)
①「象の集合」が    「空集合φ」で、
②「風の吹く日の集合」が「空集合φ」である場合には、「素朴・対偶論」は、成立しない
従って、
(28)
①「空集合φそのものに対して、「素朴・対偶論」を、用ひることは、出来ない
従って、
(28)により、
(29)
『素朴・対偶論について(2020-01-18 18:57:19 | 論理学)。』でも書いた通り、
  (10)
  ① 要素xがAの要素でないならば、要素xはφの要素でない。
  ② 要素xはφの要素であるならば、要素xはAの要素である。
  といふことは、「素朴・対偶論」としても、「正しい」のだらうか。
  と、「自問中」です。
  (11)
  自問した「結果」だけを書くものの、
  ① 風が吹けば、桶屋が儲かる。
  ② 桶屋が儲からなければ、風は吹かない。
  に対して、
  ① 要素xがAの要素でないならば、要素xはφの要素でない。
  ② 要素xはφの要素であるならば、要素xはAの要素である。
  は、「素朴・対偶論」ではありません。
  といふ、ことになる。
然るに、
(30)
任意の集合Aと、空集合φに対して、
∀x{x∈φ→x∈A}≡すべてのxについて、xがφにの要素であるならば、xはAの要素である。
といふ「命題」が、「真→真」としてではなく、「」として、「」である。
といふことは、私自身も、もちろん、知ってゐる。
然るに、
(31)
だからと言って、
  ① 要素xがAの要素でないならば、要素xはφの要素でない。
  ② 要素xはφの要素であるならば、要素xはAの要素である。
  が、「素朴・対偶論」である。
といふことには、ならない
令和02年01月19日、毛利太。

「小説の中の美人弁護士」は「非論理的」である。

(01)
chi********さん2013/4/1719:51:00
論理学について
法学部生や法曹を目指す人にとって、論理学はとった方がいい科目ですか??
授業内容見ても、、
わからないもんで(^^;)
(02)
ベストアンサーに選ばれた回答
doc********さん 2013/4/1720:15:10
東大法卒のおっさんです。
法曹をめざすのに論理学はまったく必要ありません。
論理学的に厳密に法律を解釈しようとしても、破たんするだけです。
法律にはそういう解釈の幅をもたせてあります。
(03)
瀧田早苗、二七才、東京大学法学部卒、―中略―つまり、極めて優秀なエリートだということだ。―中略―、
「正義の定義によりますね。先生は、ずっと法律を知らないと不幸になると、おっしゃっています。まったく同感です。でも、多くの弁護士は、法律を知っているくせに、依頼者を幸福にできていません。」
(真山仁 作、レインメーカー)
然るに、
(04)
「先生は、      法律を知らないと        不幸になると、おっしゃっています。
でも、多くの弁護士は、法律を知っているくせに、依頼者を幸福にできていません(。だから、先生以外の、多くの弁護士は、なさけない)。」
といふ「主張」が成り立つためには、
① 法律を知らなければ、不幸になる(順)。
② 不幸になるならば、法律を知らない(逆)。
③ 法律を知っていれば、不幸にならない(裏)。
④ 不幸にならないならば、法律を知ってゐる(対偶)。
に於いて、
①=③ でなければ、ならない。
然るに、
(05)
② 不幸になるならば、法律を知らない(逆)。
③ 法律を知っていれば、不幸にならない(裏)。
に於いて、
②=③ は、「対偶」である。
従って、
(03)(04)(05)により、
(06)
瀧田早苗、二七才、東京大学法学部卒、極めて優秀なエリート
といふ登場人物は、
① 法律を知らなければ、不幸になる(順)。
といふ「先生の言葉」を、
① 法律を知らなければ、不幸になるし(順)、
② 不幸になるならば、法律を知らない(逆)。
といふ風に、「理解」してゐることになる。
然るに、
(07)
ある命題とその逆の真偽は、必ずとも一致しない(逆は必ずしも真ならず)。この表現は日常生活や数学の中でことわざのように使用されることがある(ウィキペディア)。
従って、
(06)(07)により、
(08)
瀧田早苗、二七才、東京大学法学部卒、極めて優秀なエリートは、
① 法律を知らなければ、不幸になる(順)。
② 不幸になるならば、法律を知らない(逆)。
③ 法律を知っていれば、不幸にならない(裏)。
④ 不幸にならないならば、法律を知ってゐる(対偶)。
に於いて、
①=④ であって、
②=③ であるが、必ずしも、
①=③ ではない。
といふ、「論理学の、基本中の基本」に対してさへ、普段から、「注意」が向いてゐない人物である。
といふ風に、「推定」される。
(09)
といふわけで、実際の、東大等の「法学部」では、「論理学」は、どのやうに、学ばれてゐるのだろうか。
といふことが、気になって、検索してみたところ、
ベストアンサーに選ばれた回答
doc********さん 2013/4/1720:15:10
東大法卒のおっさんです。
法曹をめざすのに論理学はまったく必要ありません。
といふそれを、読むことになった。といふ次第です。
加へて、
(10)
あと、集合の概念も重要です。
集合の概念が理解できていないと、論理学の理解は不可能でしょう。
論理学で「ある命題が真であるとすると、対偶は真であるが、は必ずしも真ではない」とされています。
これは、さすがに、弁護士であれば通常理解しているのでしょうが、相手方弁護士の準備書面や尋問で、誤った主張が、まま見受けられます。
(弁護士と理数系の知識 - 西野法律事務所)
との、ことです。
(11)
次は、「素朴・対偶論(Ⅱ)」といふタイトルの記事を、今日の、3つ目の記事として書き、その中で、
① 要素xがAの要素でないならば、要素xはφの要素でない。
② 要素xはφの要素であるならば、要素xはAの要素である。
といふことは、「素朴・対偶論」としては、「マチガイ」であるといふ、「主張」をします。
(12)
因みに、私の場合は、社会学部の出身で、大学では、一般教養科目として、内田種臣先生の「論理学」を、履修したと思ふのですが、単位が取れたどうかは、覚えていません。
令和02年01月19日、毛利太。

「ド・モルガンの法則」は「超・簡単」である。

(01)
①(PとQの、少なくとも一方は「本当」である。)
②(Pは「ウソ」であり、その上、Qも「ウソ」である。)
に於いて、
①と② は、「矛盾」するため、どちらか一方は、「ウソ」である。
従って、
(01)により、
(02)
①(PとQの、少なくとも一方は「本当」である。)といふことはない
②(Pは「ウソ」であり、その上、Qも「ウソ」である。)
とするならば、
①=② である。
(03)
③(Pは「本当」であり、その上、Qも「本当」である。)
④(PとQの、少なくとも一方は「ウソ」である。)
に於いて、
③と④ は、「矛盾」するため、どちらか一方は、「ウソ」である。
従って、
(03)により、
(04)
③(Pは「本当」であり、その上、Qも「本当」である。)といふことはない。
④(PとQの、少なくとも、一方は「ウソ」である。)
とするならば、
③=④ である。
従って、
(02)(04)により、
(05)
①(PとQの、少なくとも、一方は「本当」である。)といふことはない。
②(Pは「ウソ」であり、その上、Qも「ウソ」である。)
③(Pは「本当」であり、その上、Qも「本当」である。)といふことはない。
④(PとQの、少なくとも、一方は「ウソ」である。)
に於いて、
①=② であり、
③=④ である。
従って、
(05)により、
(06)
「命題論理」の「記号」で書くならば、
① ~(P∨ Q)
②  ~P&~Q
③ ~(P& Q)
④  ~P∨~Q
に於いて、
①=② であり、
③=④ であるものの、この「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
従って、
(05)(06)により、
(07)
①(PとQの、少なくとも、一方は「本当」である。)といふことはない。
②(Pは「ウソ」であり、その上、Qも「ウソ」である。)
③(Pは「本当」であり、その上、Qも「本当」である。)といふことはない。
④(PとQの、少なくとも、一方は「ウソ」である。)
に於いて、
①=② であり、
③=④ である。
といふことが、「理解」出来るのであれば、その人は既に、「日本語」で、「ド・モルガンの法則」を、理解してゐる。
といふことになり、そのため、


のやうな、「ベン図」を用ひた「説明」を受ける必要はない。
然るに、
(08)
因みに、
① ~(P∨ Q)
②   ~P&~Q
③ ~(P& Q)
④  ~P∨~Q
に於いて、
① ⇔ ② であり、
③ ⇔ ④ であることを、「命題計算」で、「証明」するならば、次(10・11)のやうになる。
ものの、「命題計算」は、「一種の、言葉」である。
従って、
(09)
次(10・11)の「命題計算」は、
① ~(P∨ Q)
②  ~P&~Q
③ ~(P& Q)
④  ~P∨~Q
といふ「言葉意味」を、「命題計算」といふ「言葉」で「説明」してゐる。
といふ風に、見れないことも、ない。
(10)
(ⅰ)
1  (1)~(P∨Q)  A
 2 (2)  P     A
 2 (3)  P∨Q   2∨I
12 (4)~(P∨Q)&
       (P∨Q)  13&I
1  (5) ~P     24RAA
  6(6)    Q   A
  6(7)  P∨Q   6∨I
1 6(8)~(P∨Q)&
       (P∨Q)  16&I
1  (9)   ~Q   68RAA
1  (ア)~P&~Q   59&I
(ⅱ)
1   (1)  ~P&~Q   A
 2  (2)   P∨ Q   A
1   (3)  ~P      1&E
  4 (4)   P      A
1 4 (5)  ~P& P   34&I
  4 (6)~(~P&~Q)  15RAA
   5(7)      Q   A
1   (8)     ~Q   1&E
1  5(9)   Q&~Q   78&I
   5(ア)~(~P&~Q)  19RAA
 2  (イ)~(~P&~Q)  2467ア∨E
12  (ウ) (~P&~Q)&
       ~(~P&~Q)  1イ&I
1   (エ) ~(P∨ Q)  2ウRAA
従って、
① ~(P∨ Q)
②  ~P&~Q
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、① である。
(11)
(ⅲ)
1   (1) ~( P& Q)  A
 2  (2) ~(~P∨~Q)  A
  3 (3)   ~P      A
  3 (4)   ~P∨~Q   3∨I
 23 (5) ~(~P∨~Q)&
 23 (6)  (~P∨~Q)  24&I
 2  (7)  ~~P      3RAA
 2  (8)    P      7DN
   9(9)      ~Q   A
   9(ア)   ~P∨~Q   9∨I
 2 9(イ) ~(~P∨~Q)&
         (~P∨~Q)  2ア&I
 2  (ウ)     ~~Q   9イRAA
 2  (エ)       Q   ウDN
 2  (オ)    P& Q   8エ&I
12  (カ) ~( P& Q)&
         ( P& Q)
1   (キ)~~(~P∨~Q)  2カRAA
1   (ク)   ~P∨~Q   キDN
(ⅳ)
1   (1) ~P∨~Q  A
 2  (2)  P& Q  A
  3 (3) ~P     A
 2  (4)  P     2&E
 23 (5) ~P&P   34&I
  3 (6)~(P& Q) 25RAA
   7(7)    ~Q  A
 2  (8)     Q  2&E
 2 7(9)  ~Q&Q  78&I
   7(ア)~(P& Q) 29RAA
1   (イ)~(P& Q) 1367ア∨E
従って、
③ ~(P& Q)
④  ~P∨~Q
に於いて、
③ ならば、④ であり、
④ ならば、③ である。
令和02年01月19日、毛利太。

「素朴・対偶論」について。

(01)
① PとQが「等しい」ならば、そのときに限って
② Pである。といふことはない。
③ Qである。といふことはない。
に於いて、
②=③ である。
然るに、
(02)
①「交換法則」により、
であって、Bでない。
③ Bでなくて、である。
に於いて、
②=③ である。
従って、
(01)(02)により、
(03)
②(Aであって、でない)といふことはない。
③(でなくて、Aである)といふことはない。
に於いて、
②=③ である。
然るに、
(04)
②(Aであって、Bでない)といふことはない
③(Bでなくて、Aである)といふことはない
といふことは、
② Aであるならば、Bである。
③ Bでないならば、Aでない
といふ、ことである。
従って、
(01)~(04)により、
(05)
② Aであるならば、Bである。
③ Bでないならば、Aでない
に於いて、
②=③ であるものの、このことを、「素朴・対偶論」とする。
然るに、
(06)
「空集合φ」は、「要素xを、1つも持たない」。
従って、
(06)により、
(07)
任意の集合Aに於いて、
要素xがAの要素でないならば、要素xはφの要素でない。
従って、
(08)
「対偶」を取ると、
要素xはφの要素であるならば、要素xはAの要素である。
然るに、
(07)(08)により、
(09)
要素xがφの要素であるならば、要素xはAの要素である。
といふことは、
空集合φが、任意の集合Aの、「部分集合」である。
といふことである。
然るに、
(10)
① 要素xがAの要素でないならば、要素xはφの要素でない。
② 要素xはφの要素であるならば、要素xはAの要素である。
といふことは、「素朴・対偶論」としても、「正しい」のだらうか。
と、「自問中」です。
(11)
自問した「結果」だけを書くものの、
① 風が吹けば、桶屋が儲かる。
② 桶屋が儲からなければ、風は吹かない。 に対して、
① 要素xがAの要素でないならば、要素xはφの要素でない。
② 要素xはφの要素であるならば、要素xはAの要素である。
は、「素朴・対偶論」ではありません。
令和02年01月18日、毛利太。
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