返り点に対する「括弧」の用法について提案
FC2ブログ

「象は鼻が長い」と「述語論理」(2nd.)。

(01)
(a)
1  (1) P→ Q A
 2 (2) P    A
  3(3)   ~Q A
12 (4)    Q 12MPP
123(5) ~Q&Q 34&I
1 3(6)~P    25RAA
1  (7)~Q→~P 36CP
(b)
1  (1) ~Q→~P A
 2 (2) ~Q    A
  3(3)     P A
12 (4)    ~P 12MPP
123(5)  P&~P 34&I
1 3(6)~~Q    25RAA
1 3(7)  Q    6DN
1  (8)  P→ Q 37CP
従って、
(01)により、
(02)
①  P→ Q
② ~Q→~P
然るに、
(03)
①  P→ Q
② ~Q→~P
に於いて、
Q=Q&R
といふ「代入(Replacement)」を行ふと、
③   P→ (Q&R)
④ ~(Q&R)→~P
従って、
(02)(03)により、
(04)
①   P→ (Q&R)
② ~(Q&R)→~P
といふ「対偶(Contraposition)」に於いて、
①=③ である。
然るに、
(05)
(a)
1  (1)~(Q&R) A
 2 (2)  Q    A
  3(3)    R  A
 23(4)  Q&R  23&I
123(5)~(Q&R)  
       (Q&R) 14&I
12 (6)   ~R  35RAA
1  (7) Q→~R  26CP
(b)
1 (1)  Q→~R  A
 2(2)  Q& R  A
 2(3)  Q     2&E
 2(4)     R  2&E
12(5)    ~R  13MPP
12(6)  R&~R  45&I
1 (7)~(Q& R) 26RAA
従って、
(06)
③ ~(Q&  R)
④     Q→~R
といふ「含意の定義」に於いて、
③=④ である。
従って、
(04)(06)により、
(07)
①   P→(Q&R)
② ~(Q&R)→~P
③ ~(Q&  R)
④     Q→~R
に於いて、
①=② であって、
③=④ である。
従って、
(07)により、
(08)
①   P→(Q&R)
② ~(Q&R)→~P
③ (Q→~R)→~P
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(08)により、
(09)
①   P→[Q&R]
② ~[Q& R]→~P
③   [Q→~R]→~P
に於いて、
P=象x
Q=∃y(鼻yx&長y)
R=∀z(~鼻zx→~長z)
といふ「代入(Replacement)」を行ふと、
①   象x→[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]
② ~[∃y(鼻yx&長y)& ∀z(~鼻zx→~長z)]→~象x
③   [∃y(鼻yx&長y)→~∀z(~鼻zx→~長z)]→~象x
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(10)
(a)
1 (1)~∀z( ~鼻zx→~長z) A
1 (2)∃z~( ~鼻zx→~長z) 1量化子の関係
 3(3)  ~( ~鼻cx→~長c) A
 3(4)  ~(~~鼻cx∨~長c) 3含意の定義
 3(5)  ~(  鼻cx∨~長c) 4DN
 3(6)    ~鼻cx&~~長c  5ド・モルガンの法則
 3(7)     ~鼻cx& 長c  6DN
 3(8)  ∃z(~鼻zx& 長z) 7EI
1 (9)  ∃z(~鼻zx& 長z) 138EE
(b)
1    (1)  ∃z(~鼻zx& 長z) A
 2   (2)     ~鼻cx& 長c  A
  3  (3) ∀z( ~鼻zx→~長z) A
  3  (4)     ~鼻cx→~長c  3UE
   5 (5)           長c  A
   5 (6)         ~~長c  5DN
  35 (7)    ~~鼻cx      46MTT
  35 (8)      鼻cx      7DN
  3  (9)      長c→ 鼻cx  58CP
 2   (ア)      長c       2&E
 23  (イ)          鼻cx  9アMPP
 2   (ウ)     ~鼻cx      2&E
 23  (エ)     ~鼻cx&鼻cx  イウ&I
 2   (オ)~∀z( ~鼻zx→~長z) 3エRAA
1    (カ)~∀z( ~鼻zx→~長z) 12オEE
従って、
(10)により、
(11)
③ ~∀z(~鼻zx→~長z) 
④   ∃z(~鼻zx& 長z)
において、
③=④ である。
従って、
(09)(11)により、
(12)
①   象x → [∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]
② ~[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]→~  象x
③ [∃y(鼻yx&長y)→~∀z(~鼻zx→~長z)]→~ 象x
に於いて、
①=②=③ であって、尚且つ、
③ ~∀z(~鼻zx→~長z) 
④   ∃z(~鼻zx& 長z)
に於いて、
③=④ である。
従って、
(12)により、
(13)
①   象x → [∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]
② ~[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]→~  象x
③ [∃y(鼻yx&長y)→~∀z(~鼻zx→~長z)]→~ 象x
④ [∃y(鼻yx&長y)→ ∃z(~鼻zx& 長z)]→~ 象x
に於いて、
①=②=③=④ である。
従って、
(13)により、
(14)
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
④ ∀x{[∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx&長z)]→~象x}。
に於いて、
①=④ である。
従って、
(14)により、
(15)
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
④ ∀x{[∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx&長z)]→~象x}。
に於いて、すなはち、
① すべてのxについて{xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、yは長く、すべてのzについてzがxの鼻でないならば、zは長くない}。
④ すべてのxについて{[あるyがxの鼻であって、yが長いとしても、あるzがxの鼻ではなくて、長いならば]xは象ではない}。
に於いて、
①=④ である。
従って、
(15)により、
(16)
1     (1)∀x{[ ∃y(鼻yx&長y)→ ∃z(~鼻zx& 長z)]→~象x} A
1     (〃)すべてのxについて{[あるyがxの鼻であって、yが長いとしても、あるzがxの鼻ではなくて、長いならば]xは象ではない}。 A
1     (〃)鼻が長くとも、鼻以外も長いならば、象ではない。             A
1     (2)   [ ∃y(鼻ya&長y)→ ∃z(~鼻za& 長z)]→~象a  1UE
1     (3)   [~∃y(鼻ya&長y)∨ ∃z(~鼻za& 長z)]→~象a  2含意の定義
 4    (4)                                象a  A
 4    (5)                              ~~象a  4DN
14    (6)  ~[~∃y(鼻ya&長y)∨ ∃z(~鼻za& 長z)]      34MTT
14    (7)   ~~∃y(鼻ya&長y)&~∃z(~鼻za& 長z)       6ド・モルガンの法則
14    (8)     ∃y(鼻ya&長y)&~∃z(~鼻za& 長z)       7DN
14    (9)                ~∃z(~鼻za& 長z)       8&E
14    (ア)                ∀z~(~鼻za& 長z)       9量化子の関係
14    (イ)                  ~(~鼻ba& 長b)       アUE
14    (ウ)                   ~~鼻ba∨~長b        イ、ド・モルガンの法則
14    (エ)                    ~鼻ba→~長b        ウ含意の定義
14    (オ)                 ∀z(~鼻zx→~長z)       エUI
14    (カ)      ∃y(鼻ya&長y)                      8&E
14    (キ)      ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)       オカ&I
1     (ク)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)       4キCP
1     (ケ)∀x{象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)       クUI
1     (〃)すべてのxについて{xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、yは長く、すべてのzについてzがxの鼻でないならば、zは長くない}。 A
1     (〃)象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
 コ    (コ)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)}      A
 コ    (〃)すべてのxについて{xが兎であるならば、あるyはxの耳であって、yは長いものの、すべてのzについて、zがxの耳ならば、zはxの耳ではない}。 A
 コ    (〃)兎の耳は長いものの、兎の耳は、鼻ではない。
  サ   (サ)∃x(兎x&象x)                           A
  サ   (〃)あるxは兎であって象である。                      A
  サ   (〃)ある兎は象である。                           A
然るに、
(17)
サ   (〃)ある兎は象である。                           A
の「続き」は、これ迄に、何度も示した通り、
1     (4)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  1UE
 2    (5)   兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za)  1UE
   6  (6)   兎a&象a                       A
   6  (7)   兎a                          6&E
   6  (8)      象a                       6&E
1  6  (9)      ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  47MPP
 2 6  (ア)      ∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za)  58MPP
1  6  (イ)      ∃y(鼻ya&長y)               9&E
 2 6  (ウ)      ∃y(耳ya&長y)               ア&E
    エ (エ)         鼻ba&長b                A
     オ(オ)         耳ba&長b                A
1  6  (カ)                 ∀z(~鼻za→~長z)  9&E
1  6  (キ)                    ~鼻ba→~長b   カUE
 2 6  (ク)                 ∀z(耳za→~鼻za)  ア&E
 2 6  (ケ)                    耳ba→~鼻ba   クUE
    オ (コ)                    耳ba        オ&E
 2 6オ (サ)                        ~鼻ba   ケコMPP
12 6オ (シ)                         ~長b   キサコMPP
    オ (ス)             長b                オ&E
12 6オ (セ)             長b&~長b            シス&I
12 6  (ソ)             長b&~長b            ウオセEE
123   (タ)             長b&~長b            36ソEE
12    (チ)~∃x(兎x&象x)                     3タRAA
12    (ツ)∀x~(兎x&象x)                     チ量化子の関係
12    (テ)  ~(兎a&象a)                     ツUE
12    (ト)  ~兎a∨~象a                      テ、ド・モルガンの法則
12    (ナ)   兎a→~象a                      ト含意の定義
12    (ニ)∀x(兎x→~象x)                     ナUI
12    (〃)すべてのxについて、xが兎であるならば、xは象ではない。   ナUI
12    (〃)兎は象ではない。                       ナUI
従って、
(15)(16)(17)により、
(18)
(Ⅰ)∀x{[∃y(鼻yx&長y)→ ∃z(~鼻zx& 長z)]→~象x}。然るに、
(Ⅱ)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)}。故に、
(Ⅲ)∀x(兎x→~象x)。
といふ「三段論法」、すなはち、
(Ⅰ)「鼻が長くとも、鼻以外も長いならば、象ではない。」然るに、
(Ⅱ)「兎は耳が長い、兎の耳は鼻ではない。」故に、
(Ⅲ)「兎は象ではない。」
といふ「三段論法(推論)」は、「妥当(Valid)」である。
然るに、
(19)
(Ⅰ)「鼻が長くとも、鼻以外も長いならば、象ではない。」と言ふのであれば、
(〃)「象は、鼻以外は長くない。」といふことであって、
(〃)「象は、鼻以外は長くない。」と、言ふのであれば、
(〃)「象は、鼻は長い。」とは、言はずに、
(〃)「象は、鼻長い。」といふ風に、言ふはずである。
従って、
(15)~(19)により、
(20)
① 象は鼻長い。
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
③ ∀x{[∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx&長z)]→~象x}。
に於いて、
① といふ「日本語」は、
② といふ「論理構造」をしてゐて、尚つ、
② といふ「論理構造」は、
③ といふ「論理構造」に、「等しい」。
といふ、ことになる。
然るに、
(21)
伝統的論理学を清水滉『論理学』(1916年)で代表させよう。わたしのもっているのが四十三年の第十九冊の一冊で、なお引き続き刊行だろうから、前後かなり多くの読者をもつ論理学書と考えられる。新興の記号論理学は、沢田允茂『現代論理学入門』(1962年)を参照することにする(三上章、日本語の論理、1963年、4頁)。
然るに、
(22)
「伝統的論理学」は、「文の、内部の構造」を「分析」できず、それ故、「伝統的論理学」は、例へば、
(Ⅰ)「鼻が長くとも、鼻以外も長いならば、象ではない。」然るに、
(Ⅱ)「兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。」故に、
(Ⅲ)「兎は象ではない。」
といふ「推論」の「妥当性(Validity)」を、「証明」できない。
従って、
(23)
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」を「分析」する際に、「伝統的論理学」は、役に立たない。
然るに、
(24)
沢田允茂『現代論理学入門』(1962年)は、言はば、「現代論理学」の「解説書」であって、「練習問題」も、一切、載っていない。
従って、
(25)
『沢田允茂、現代論理学入門、1962年』を読んだとしても、例へば、
1   (1)吾輩は猫であるが、吾輩に、名前はない。    A
1   (〃) ∃x{吾輩x&猫x& ~∃y(名前yx)} A
 2  (2)    吾輩a&猫a& ~∃y(名前ya)  A
 2  (3)    吾輩a                2&E
 2  (4)        猫a             2&E
 2  (5)            ~∃y(名前ya)  2&E
  6 (6) ∃x{タマx&     ∃y(名前yx)} A
   7(7)    タマa&     ∃y(名前ya)  A
   7(8)    タマa&               7&E
   7(9)             ∃y(名前ya)  7&E
 2 7(ア)   ~∃y(名前ya)&∃y(名前ya)  59&I
 26 (イ)   ~∃y(名前ya)&∃y(名前ya)  67アEE
 2  (ウ)~∃x{タマx&     ∃y(名前yx)} 6イRAA
 2  (エ)∀x~{タマx&     ∃y(名前yx)} ウ量化子の関係
 2  (オ)  ~{タマa&     ∃y(名前ya)} エUE
 2  (カ)   ~タマa∨    ~∃y(名前ya)  オ、ドモルガンの法則 
 2  (キ)   ~∃y(名前ya)∨~タマa      カ交換法則
 2  (ク)    ∃y(名前ya)→~タマa      キ含意の定義
 2 7(ケ)             ~タマa      9クMPP
 2 7(コ)    吾輩a&~タマa           3ケ&I
 2 7(サ)    吾輩a&~タマa&猫a        4コ&I
 2 7(シ) ∃x(吾輩x&~タマx&猫x)       サEI
 26 (ス) ∃x(吾輩x&~タマx&猫x)       67シEE
1 6 (セ) ∃x(吾輩x&~タマx&猫x)       12スEE
1 6 (〃)あるxは、吾輩であって、タマではなく、猫である。 セ翻訳
1 6 (〃)吾輩は、タマではないが、猫である。        ソ翻訳
といふ「述語計算」が出来るやうに、なるわけではない。
然るに、
(26)
Primary an exercise book ― with exersises ranging from the simple to challenging(簡単なそれから、さうでないものまでを含む、練習帳)。
とあるやうに、『論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年』の方は、「練習問題帳」である。
然るに、
(27)
日常言語の文から述語計算の文への翻訳のためには、一般にあたまが柔軟なことが必要である。なんら確定的な規則があるわけではなく、量記号に十分に馴れるまでは、練習を積むことが必要である(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、130頁)。Flexibility of mind is generally required for translating from ordinary speech into sentences of the predicate calculs. No firm rules can be given, and practice is needed before full familiarity with quantifires is reached(E.J.Lemmon, Beginning Logic).
従って、
(22)~(27)により、
(28)
『沢田允茂、現代論理学入門1963年』といふ「それ(解説書)」をいくら、丁寧に読んでみたとしても、「量記号」に十分に馴れるまで、「十分な練習」を積まなければ、
(Ⅰ)∀x{[∃y(鼻yx&長y)→ ∃z(~鼻zx& 長z)]→~象x}。然るに、
(Ⅱ)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)}。故に、
(Ⅲ)∀x(兎x→~象x)。
といふ「述語計算(Predicate calculus)」が出来るやうにならないのは、「練習」を積まなければ、
例題1
(xx+xy+yy+2x-y+3)(xy+x-2y+2)(xx+yy+x+y+1)
の展開式における2次の項と、3次の項を計算せよ。
答え 2次:17xx-xy+2yy、3次:12xxx-3xxx-3xxy+9xyy-6yy
(科学振興社、モノグラフ 1、式の計算、1990年、9頁改)
といふ「計算」ができないことと、「同じ」である。
従って、
(21)~(28)により、
(29)
『三上章、日本語の論理、1963年』の中で、記号論理学は、沢田允茂『現代論理学入門』(1962年)を参照することにすると、書いた時点に於ける、三上先生は、
(xx+xy+yy+2x-y+3)(xy+x-2y+2)(xx+yy+x+y+1)
の展開式における2次の項と、3次の項を計算せよ。
といふ「計算」は、「得意」であったとしても、
(Ⅰ)∀x{[∃y(鼻yx&長y)→ ∃z(~鼻zx& 長z)]→~象x}。然るに、
(Ⅱ)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)}。故に、
(Ⅲ)∀x(兎x→~象x)。
といふ「計算」は、やってはゐないもののと、思はれます。
仮に、
(30)
55年前の、三上章先生が、
(Ⅰ)「鼻が長くとも、鼻以外も長いならば、象ではない。」然るに、
(Ⅱ)「兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。」故に、
(Ⅲ)「兎は象ではない。」
といふ「推論(三段論法)」を、自分自身で、「述語論理」に「翻訳」しようとして、『述語論理(現代論理学)』を学ばれたとすれば、
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
④ ∀x{[∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx&長z)]→~象x}。
から、「論理式」から、
① ∀z(~鼻zx→~長z)
④ ∃z(~鼻zx& 長z)
を「除去(elimate)」してまへば、
(Ⅰ)「鼻が長くとも、鼻以外も長いならば、象ではない。」然るに、
(Ⅱ)「兎は耳長いが、兎の耳は鼻ではない。」故に、
(Ⅲ)「兎は象ではない。」
といふ「推論(三段論法)」は、成り立たない。といふことに、気付かれたはずである。
然るに、
(31)
55年前の、三上章先生ほどの大先生が、『三上章、日本語の論理、1963年』の中で、仮に、
(Ⅰ)∀x{[∃y(鼻yx&長y)→ ∃z(~鼻zx& 長z)]→~象x}。然るに、
(Ⅱ)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)}。故に、
(Ⅲ)∀x(兎x→~象x)。
といふ「論理式」に、言及してゐたのであれば、
① 象は鼻長い。
といふ「日本語」は、少なくとも、「述語論理的」には、
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。⇔
③ ∀x{[∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx&長z)]→~象x}。
といふ「論理構造」をしてゐる。といふことが、知れ渡ってゐたと、思はれます。
然るに、
(32)
1   (1)鼻は象長い。             A
1   (〃)∀x{∃y(~象y&鼻xy)→~長x} A
1   (〃)いかなるxであっても{xが、ある象ではないyの鼻であるならば、xは長くない}。 A
 2  (2)∀y{兎y→~象y}          A
  3 (3)∃y(兎y&鼻ay)          A
1   (4)   ∃y(~象y&鼻ay)→~長a  1UE
 2  (5)   兎b→~象b           2UE
   6(6)   兎b&鼻ab           A
   6(7)   兎b               6&E
12 6(8)      ~象b           57MPP
   6(9)      鼻ab           6&E
12 6(ア)      ~象b&鼻ab       89&I
12 6(イ)   ∃y(~象y&鼻ay)      アEI
123 (ウ)   ∃y(~象y&鼻ay)      36イEE
123 (エ)               ~長a  4ウMPP
12  (オ)   ∃y( 兎y&鼻ay)→~長a  3エCP
12  (3)∀x{∃y( 兎y&鼻xy)→~長x} オUI
12  (〃)いかなるxであっても{あるyが兎であって、xがyの鼻であるならば、xは長くない}。 オUI
12  (〃)兎の鼻は長くない。           オUI
従って、
(32)により、
(33)
(Ⅰ)∀x{∃y(~象y&鼻xy)→~長x}。
(Ⅱ)∀y{兎y→~象y}。
(Ⅲ)∀x{∃y( 兎y&鼻xy)→~長x}。
といふ「推論(三段論法)」、すなはち、
(Ⅰ)鼻は象長い。然るに、
(Ⅱ)兎は象ではない。故に、
(Ⅲ)兎の鼻は長くない。
といふ「推論(三段論法)」が、成立する。
然るに、
(34)
1   (1)∀x{∃y(~象y&鼻xy)→~長x} A
1   (〃)いかなるxであっても{xが、ある象ではないyの鼻であるならば、xは長くない}。 A
といふことは、
1   (1)象以外の鼻は、長くはない
といふことに、他ならない。
然るに、
(35)
1   (1)象以外の鼻は、長くはない
といふことは、「念頭」には、
1   (1)象以外の鼻無ければ、ならない
然るに、
(36)
{兎、象、麒麟}を{変域(domain)}とするならば、
① 耳は、兎長い。
② 鼻は、象長い。
③ 首は、麒麟長い。
と言ふか、さうでなければ、
① 耳が、兎長い。
② 鼻が、象長い。
③ 首が、麒麟長い。
と言ふのであって、
① 耳は、兎は長い。
② 鼻は、象は長い。
③ 首は、麒麟は長い。
といふ風には、言はない
従って、
(31)~(36)により、
(37)
」は複数の主語候補を同時に意識させ、「集合」としての主語を提示する。
*「集合構造」:主語は集合で、他の主語候補を義務的に意識させる(淺山友貴、現代日本語における「は」と「が」の意味と機能、2004年、154頁)。
に於ける、「集合」といふのは、
① 耳は、兎が長い。
② 鼻は、象が長い。
③ 首は、麒麟が長い。
であれば、
①{兎と、兎以外(象と麒麟)} の「集合」であって、
②{象と、象以外(兎と麒麟)} の「集合」であって、
③{麒麟と、麒麟以外(兎と象)}の「集合」である。
平成30年、12月15日、毛利太。

「象は鼻が長い。」の「述語論理」と「主題」。

(01)
もう一度、書くものの、
1     (1)象は鼻が長い。                        A
1     (〃)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
 2    (2)兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。             A
 2    (〃)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)} A
  3   (3)ある兎は象である。                      A
  3   (〃)∃x(兎x&象x)                      A
  3   (〃)あるxは兎であって象である。                 A
1     (4)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  1UE
 2    (5)   兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za)  1UE
   6  (6)   兎a&象a                       A
   6  (7)   兎a                          6&E
   6  (8)      象a                       6&E
1  6  (9)      ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  47MPP
 2 6  (ア)      ∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za)  58MPP
1  6  (イ)      ∃y(鼻ya&長y)               9&E
 2 6  (ウ)      ∃y(耳ya&長y)               ア&E
    エ (エ)         鼻ba&長b                A
     オ(オ)         耳ba&長b                A
1  6  (カ)                 ∀z(~鼻za→~長z)  9&E
1  6  (キ)                    ~鼻ba→~長b   カUE
 2 6  (ク)                 ∀z(耳za→~鼻za)  ア&E
 2 6  (ケ)                    耳ba→~鼻ba   クUE
    オ (コ)                    耳ba        オ&E
 2 6オ (サ)                        ~鼻ba   ケコMPP
12 6オ (シ)                         ~長b   キサコMPP
    オ (ス)             長b                オ&E
12 6オ (セ)             長b&~長b            シス&I
12 6  (ソ)             長b&~長b            ウオセEE
123   (タ)             長b&~長b            36ソEE
12    (チ)~∃x(兎x&象x)                     3タRAA
12    (ツ)∀x~(兎x&象x)                     チ量化子の関係
12    (テ)  ~(兎a&象a)                     ツUE
12    (ト)  ~兎a∨~象a                      テ、ド・モルガンの法則
12    (ナ)   兎a→~象a                      ト含意の定義
12    (ニ)∀x(兎x→~象x)                     ナUI
12    (〃)すべてのxについて、xが兎であるならば、xは象ではない。   ナUI
12    (〃)兎は象ではない。                       ナUI
従って、
(01)により、
(02)
(1)象は鼻が長い。
(2)兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 
(3)ある兎は象である。
といふ風に「仮定」すると、
(タ)の行で、「矛盾」が生じるため、
(1)と(2)を、「否定」しないならば、「背理法」により、
(3)ある兎は象である。
といふ「仮定」が「否定」され、その「結果」として、
(3)兎は象ではない。
といふ「結論」を得ることになる。
従って、
(02)により、
(03)
(1)象は鼻が長い。然るに、
(2)兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
(3)兎は象ではない。
といふ「推論(三段論法)」を行ひたいのであれば、
(1)象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
(1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
といふ風に、「翻訳」することになる。
然るに、
(04)
1  (1)象以外の鼻は長くない。         A
1  (〃)∀x{~象x→~∃y(鼻yx&長y)} A
 2 (2)∀x( 兎x→~象x)         A
 2 (〃)兎は象ではない。            A
1  (3)   ~象a→~∃y(鼻ya&長y)  1UE
 2 (4)    兎a→~象a          2UE
  5(5)    兎a              A
 25(6)       ~象a          45
125(7)       ~∃y(鼻ya&長y)  36MPP
125(8)       ∀y~(鼻ya&長y)  7量化子の関係
125(9)         ~(鼻ba&長b)  8UE
125(ア)         ~鼻ba∨~長b   ド・モルガンの法則
125(イ)          鼻ba→~長b   ア含意の定義
125(ウ)       ∀y(鼻ya→~長y)  イUI
12 (エ)    兎a→∀y(鼻ya→~長y)  5ウCP
12 (オ)∀x{ 兎x→∀y(鼻yx→~長y)} エUI
12 (〃)すべてのxについて{xが兎であるならば、すべてのyについて(yがxの鼻であるならば、yは長くない)}。 エUI
12 (〃)xが兎であって、yがxの鼻であるならば、yは長くない。 エUI
12 (〃)兎の鼻は長くない。 エUI
従って、
(04)により、
(05)
(1)象以外の鼻は長くない。
(2)兎は象ではない。 
といふ風に、「仮定」すると、当然ではあるが、
(3)兎の鼻は長くない。
といふ「結論」を得ることになる。
然るに、
(06)
{象、兎、猫、犬、馬}を、「変域」とするならば、事実として、
{象}以外の鼻は長くない。
然るに、
(07)
{象}以外の鼻は長くない。
といふことは、
{象が}鼻は長い。
といふことである。
従って、
(04)(07)により、
(08)
1  (1)象が鼻は長い。             A
1  (〃)象以外の鼻は長くない。         A
1  (〃)∀x{~象x→~∃y(鼻yx&長y)} A
である。
従って、
(05)~(08)により、
(09)
(1)象が鼻は長い。然るに、
(2)兎は象ではない。故に、
(3)兎の鼻は長くない。
といふ「推論(三段論法)」を行ひたいのであれば、
(1)象が鼻は長い。
といふ「日本語」は、
(1)∀x{~象x→~∃y(鼻yx&長y)}。
といふ風に、「翻訳」することになる。
然るに、
(10)
(a)
1  (1)∀x{~象x→~∃y(鼻yx&長y)} A
1  (2)   ~象a→~∃y(鼻ya&長y)  UE
 3 (3)   ~象a              A
  4(4)        ∃y(鼻yx&長y)  A
13 (5)       ~∃y(鼻ya&長y)  23MPP
134(6)        ∃y(鼻ya&長y)&
             ~∃y(鼻ya&長y)  45&I
1 4(7)  ~~象a              36RAA
1 4(8)    象a              7DN
1  (9)    ∃y(鼻yx&長y)→象a   48CP
1  (ア)∀x{ ∃y(鼻yx&長y)→象x}  9UI
(b)
1  (1)∀x{ ∃y(鼻yx&長y)→象x}  A
1  (2)    ∃y(鼻ya&長y)→象a   1UE
 3 (3)    ∃y(鼻ya&長y)      A
  4(4)              ~象a   A
13 (5)               象a   23MPP
134(6)           ~象a&象a   45&I
1 4(7)   ~∃y(鼻ya&長y)      36RAA
1  (8)   ~象a→~∃y(鼻ya&長y)  47CP
1  (9)∀x{~象x→~∃y(鼻yx&長y)} 8UI
従って、
(10)により、
(11)
(a)∀x{~象x→~∃y(鼻yx&長y)}。
(b)∀x{ ∃y(鼻yx&長y)→ 象x}。
といふ「対偶」に於いて、
(a)=(b) である。
従って、
(09)(10)(11)により、
(12)
(1)象が鼻は長い。然るに、
(2)兎は象ではない。故に、
(3)兎の鼻は長くない。
といふ「推論(三段論法)」を行ひたいのであれば、
(1)象が鼻は長い。
といふ「日本語」は、
(1)∀x{∃y(鼻yx&長y)→象x}。
(〃)すべてのxについて{あるyがxの鼻であって、yが長いのであれば、xは象である}。
といふ風に、「翻訳」することになる。
然るに、
(13)
(a)
1(1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)}&∀x{∃y(鼻yx&長y)→象x} A
1(2)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)}                   1&E
1(3)   象a→∃y(鼻ya&長y)                    2UE
1(4)                  ∀x{∃y(鼻yx&長y)→象x} 1&E
1(5)                     ∃y(鼻ya&長y)→象a  4UE
1(6)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∃y(鼻ya&長y)→象a      35&I
1(7)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃y(鼻yx&長y)→象x}     6UI 
(b)
1(1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃y(鼻yx&長y)→象x}     A
1(2)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∃y(鼻ya&長y)→象a      1UE
1(3)   象a→∃y(鼻ya&長y)                    2&E
1(4)∀x{象a→∃y(鼻ya&長y)}                   3UI
1(5)                 ∃y(鼻yx&長y)→象x      2&E
1(6)              ∀x{∃y(鼻yx&長y)→象x}     5UI
1(7)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)}&∀x{∃y(鼻yx&長y)→象x} 46&I
従って、
(13)により、
(14)
(a)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)}&∀x{∃y(鼻yx&長y)→象x}
(b)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y) &   ∃y(鼻yx&長y)→象x}
に於いて、
(a)=(b) である。
然るに、
(15)
すなわち記号で書けば、
(P→Q)&(Q→P)
である。しかしこの複合的表現を用ゐるよりは、
P⇔Q
と書くのが便利であろう(論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、38頁)。
従って、
(14)(15)により、
(16)
P⇔Q は、
(P→Q)&(Q→P) の、「代はり」であるため、
(a)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)}&∀x{∃y(鼻yx&長y)→象x}
(b)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y) &   ∃y(鼻yx&長y)→象x}
(c)∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)}
に於いて、
(a)=(b)=(c) である。
従って、
(16)により、
(17)
1  (1) 象が鼻は長い。             A
1  (〃) ∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)}   A
1  (2)    象a⇔∃y(鼻ya&長y)    1UE
1  (3)    象a→∃y(鼻ya&長y)&      
∃y(鼻ya&長y)→ 象a   4Df.⇔
1  (4)    ∃y(鼻ya&長y)→ 象a   4&E
5 (5)               ~象a   A
15 (6)   ~∃y(鼻ya&長y)       45MTT
1  (7)   ~象a→~∃y(鼻ya&長y)   56CP
1  (8)∀x{~象a→~∃y(鼻ya&長y)}  7UI
従って、
(04)(17)により、
(18)
1  (1)象が鼻は長い。             A
1  (〃)象以外の鼻は長くない。         A
1  (〃)∀x{~象x→~∃y(鼻yx&長y)} A
 2 (2)∀x( 兎x→~象x)         A
 2 (〃)兎は象ではない。            A
1  (3)   ~象a→~∃y(鼻ya&長y)  1UE
 2 (4)    兎a→~象a          2UE
5(5)    兎a              A
25(6)       ~象a          45
125(7)       ~∃y(鼻ya&長y)  36MPP
125(8)       ∀y~(鼻ya&長y)  7量化子の関係
125(9)         ~(鼻ba&長b)  8UE
125(ア)         ~鼻ba∨~長b   ド・モルガンの法則
125(イ)          鼻ba→~長b   ア含意の定義
125(ウ)       ∀y(鼻ya→~長y)  イUI
12 (エ)    兎a→∀y(鼻ya→~長y)  5ウCP
12 (オ)∀x{ 兎x→∀y(鼻yx→~長y)} エUI
12 (〃)すべてのxについて{xが兎であるならば、すべてのyについて(yがxの鼻であるならば、yは長くない)}。 エUI
12 (〃)xが兎であって、yがxの鼻であるならば、yは長くない。 エUI
といふ「計算」の、
1  (1)象が鼻は長い。             A
1  (〃)∀x{~象x→~∃y(鼻yx&長y)} A
といふ「仮定」を、
1  (1) 象が鼻は長い。             A
1  (〃) ∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)}   A
といふ「仮定」に、「差し替へ」たとしても、「結論」は「同じ」である。
従って、
(12)(18)により、
(19)
(1)象が鼻は長い。然るに、
(2)兎は象ではない。故に、
(3)兎の鼻は長くない。
といふ「推論(三段論法)」を行ひたいのであれば、
(1)象が鼻は長い。
といふ「日本語」は、
(1)∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)} 
(〃)すべてのxについて{xが象であるならば、そのときに限って、あるyはxの鼻であって、yは長い}。
といふ風に、「翻訳」することになる。
然るに、
(01)(16)により、
(20)
1     (1)象が鼻が長い。                                     A
1     (〃)∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}              A
1     (2)   象a⇔∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)               1UE             
1     (3)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∃y(鼻ya&長y)→象a&∀z(~鼻za→~長z) 2Df.⇔
1     (4)   象a→∃y(鼻ya&長y)                            3&E
1     (5)                            象a&∀z(~鼻za→~長z) 3&E
1     (6)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)               45&I
1     (7)∀x{象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)               6UI
従って、
(01)(20)により、
(21)
1     (1)象は鼻が長い。                        A
1     (〃)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
 2    (2)兎の耳は長くいが、兎の耳は鼻ではない。            A
 2    (〃)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)} A
  3   (3)ある兎は象である。                      A
  3   (〃)∃x(兎x&象x)                      A
  3   (〃)あるxは兎であって象である。                 A
1     (4)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  1UE
 2    (5)   兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za)  1UE
   6  (6)   兎a&象a                       A
   6  (7)   兎a                          6&E
   6  (8)      象a                       6&E
1  6  (9)      ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  47MPP
 2 6  (ア)      ∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za)  58MPP
1  6  (イ)      ∃y(鼻ya&長y)               9&E
 2 6  (ウ)      ∃y(耳ya&長y)               ア&E
    エ (エ)         鼻ba&長b                A
     オ(オ)         耳ba&長b                A
1  6  (カ)                 ∀z(~鼻za→~長z)  9&E
1  6  (キ)                    ~鼻ba→~長b   カUE
 2 6  (ク)                 ∀z(耳za→~鼻za)  ア&E
 2 6  (ケ)                    耳ba→~鼻ba   クUE
    オ (コ)                    耳ba        オ&E
 2 6オ (サ)                        ~鼻ba   ケコMPP
12 6オ (シ)                         ~長b   キサコMPP
オ (ス)             長b                オ&E
12 6オ (セ)             長b&~長b            シス&I
12 6  (ソ)             長b&~長b            ウオセEE
123   (タ)             長b&~長b            36ソEE
12    (チ)~∃x(兎x&象x)                     3タRAA
12    (ツ)∀x~(兎x&象x)                     チ量化子の関係
12    (テ)  ~(兎a&象a)                     ツUE
12    (ト)  ~兎a∨~象a                      テ、ド・モルガンの法則
12    (ナ)   兎a→~象a                      ト含意の定義
12    (ニ)∀x(兎x→~象x)                     ナUI
12    (〃)すべてのxについて、xが兎であるならば、xは象ではない。   ナUI
12    (〃)兎は象ではない。                       ナUI
といふ「計算」の、
1     (1)象は鼻が長い。                        A
1     (〃)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
といふ「仮定」を、         
1     (1)象が鼻が長い。                        A
1     (〃)∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
といふ「仮定」に、「差し替へ」たとしても、「結論」は「同じ」である。
従って、
(03)(21)により、
(22)
(1)象が鼻が長い。然るに、
(2)兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
(3)兎は象ではない。
といふ「推論(三段論法)」を行ひたいのであれば、
(1)象が鼻が長い。
といふ「日本語」は、
(1)∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
といふ風に、「翻訳」することになる。
然るに、
(23)
(1)象が鼻は長い。然るに、
(2)兎は象ではない。故に、
(3)兎の鼻は長くない。
といふ「推論(三段論法)」や、
(1)象が鼻が長い。然るに、
(2)兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
(3)兎は象ではない。
といふ「推論(三段論法)」は、明らかに、「妥当(Valid)」である。
然るに、
(24)
(1)∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)}。然るに、
(2)∀x(兎x→~象x)。故に、
(3)∀x{兎x→∀y(鼻yx→~長y)}。
といふ「推論(三段論法)」や、
(1)∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。然るに、
(2)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)}。故に、
(3)∀x(兎x→~象x)。
といふ「推論(三段論法)」も、明らかに、「妥当(Valid)」である。
従って、
(18)(20)(23)(24)により、
(25)
(1)象が鼻は長い。
(2)兎は象ではない。
(3)兎の鼻は長くない。
といふ「日本語」が、
(1)∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)}。
(2)∀x(兎x→~象x)。
(3)∀x{兎x→∀y(鼻yx→~長y)}。
といふ「述語論理」に、対応せず、
(1)象は鼻が長い。
(2)兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
(3)兎は象ではない。
といふ「日本語」が、、
(1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
(2)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)}。
(3)∀x(兎x→~象x)。
といふ「述語論理」に、対応しない。
といふことは、有り得ない。と、言ふべきである。
従って、
(26)
私としては、
(1)象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、少なくとも、「論理的」は、
(1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
(〃)すべてxについて{xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、そのyは長く、あるzがxの鼻でなく、尚且つ、長い。といふことはない}。
といふ「意味」である。といふことを、「國語(日本語)の先生(教師)」に、知って欲しい。
然るに、
(27)
(1)∀x{象x→
(〃)すべてxについて{xが象であるならば、
といふ風に、最初に、言明してゐるため、
(1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
(〃)すべてxについて{xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、そのyは長く、あるzがxの鼻でなく、尚且つ、長い。といふことはない}。
といふ「文」は、「最初に、その文の内容の範囲を、象に限定してゐる」。
然るに、
(28)
「は」の基本的な性質は、主題を表すことです。主題というのは文の最初にあって、その文で述べる内容の範囲を限定するものです(白川博之 監修、中上級を教える人のための、日本語文法ハンドブック、2001年、314頁)。
従って、
(27)(28)により、
(29)
(1)象は鼻が長い。
(〃)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
(〃)すべてxについて{xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、そのyは長く、あるzがxの鼻でなく、尚且つ、長い。といふことはない}。
の「主題」は、確かに、「象は」である。
しかしながら、
(30)
(1)象は鼻が長い。
に於いて、
(1)「象」は「主題」である。
と言ったところで、
(1)象長い。
といふ「日本語」の、
(1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
といふ「論理的構造」を、「把握」したことには、ならない。
従って、
(31)
(1)象は鼻が長い。
に於いて、
(1)「象」は「主題」である。
といふことには、反論はしないが、だからと言って、それがどうしたのか。
といふのが、正直な、ところである。
それ故、
(32)
私は、「三上章、象は鼻が長い、昭和35年」といふ本の内容を、評価しない。
平成30年12月07日、毛利太。

「象の鼻」と「述語論理」と「馬の頭」。

(01)
① ∀x(馬x→動x)。
② ∀x{∃y(馬y&頭xy)→∃y(動y&頭xy)}。
といふ「述語論理」は、それぞれ、
① すべてのxについて{xが馬であるならが、xは動物である}。
② すべてのxについて{xが馬である所のあるyの頭であるならば、xは動物である所のあるyの頭である}。
といふ「日本語」に、対応する。
然るに、
(02)
① すべての馬は動物である。
② すべての馬の頭は動物の頭である。
といふことは、
① いかなるxであっても{xが馬であるならが、xは動物である}。
② いかなるxであっても{xが馬である所のあるyの頭であるならば、xは動物である所のあるyの頭である}。
といふことである。
従って、
(01)(02)により、
(03)
① ∀x(馬x→動x)。
② ∀x{∃y(馬y&頭xy)→∃y(動y&頭xy)}。
といふ「述語論理」は、それぞれ、
① いかなるxであっても{xが馬であるならが、xは動物である}。
② いかなるxであっても{xが馬である所のあるyの頭であるならば、xは動物である所のあるyの頭である}。
といふ「日本語」に、対応する。
然るに、
(04)
ド・モルガンが明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名な、また簡単な論証がある。
(1)すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
― 10行、中略、―
123 ∀x(馬x→動x)├ ∀x{∃y(馬y&頭xy)→∃y(動y&頭xy)}
1  (1)   ∀x(馬x→動x)               A
 2 (2)   ∃y(馬y&頭ay)              A
  3(3)      馬b&頭ab               A
  3(4)      馬b                   3&E
  3(5)         頭ab               3&E
1  (6)      馬b→動b                1UE
1 3(7)         動b                46MPP
1 3(8)      動b&頭ab               57&I
1 3(9)   ∃y(動y&頭ay)              8EI
12 (ア)   ∃y(動y&頭ay)              239EE
1  (イ)   ∃y(馬y&頭ay)→∃y(動y&頭ay)   2アCP
1  (ウ)∀x{∃y(馬y&頭xy)→∃y(動y&頭xy)}  イUI
(論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、167頁改)
従って、
(01)~(04)により、
(05)
(1)All horses are animals; therefore all horses' heads are animals' heads.
(〃)すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
といふ「論証」は、「英語」としても、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当(Valid)」である。
(06)
① ∀x{∃y(~象y&鼻xy)→~長x}。
② ∀y{兎y→~象y}。
③ ∀x{∃y( 兎y&鼻xy)→~長x}。
といふ「述語論理」は、
① いかなるxであっても{xが、ある象ではない(動物)である所のyの鼻であるならば、xは長くない}。
② いかなるyであっても{yが兎であるならば、yは象ではない}。
③ いかなるxであっても{xが、ある兎である所のyの鼻であるならば、xは長くない}。
といふ「日本語」に、対応する。
然るに、
(06)
① いかなるxであっても{xが、ある象ではない所のyの鼻であるならば、xは長くない}。
② いかなるyであっても{yが兎であるならば、yは象ではない}。
③ いかなるxであっても{xが、ある兎である所のyの鼻であるならば、xは長くない}。
といふことは、要するに、
① 鼻は象長い。
② すべての兎は象ではない。
③ すべての兎の鼻は長くない。
といふことである。
cf.
① サンマは目黒美味い(サンマは目黒に限る)。⇔
① ∀x{∃y(~目黒y&サンマxy)→~美味x}。⇔
① いかなるxであっても{xが、目黒ではない所のyのサンマであるならば、xは美味くない}。
然るに、
(08)
1   (1)∀x{∃y(~象y&鼻xy)→~長x} A
 2  (2)∀y{兎y→~象y}          A
  3 ()∃y(兎y&鼻ay)          A
1   ()   ∃y(~象y&鼻ay)→~長a  1UE
 2  (5)   兎b→~象b           2UE
   6(6)   兎b&鼻ab           A
   6(7)   兎b               6&E
12 6(8)      ~象b           57MPP
   6(9)      鼻ab           7&E
12 6(ア)      ~象b&鼻ab       89&I
12 6(イ)   ∃y(~象y&鼻ay)      アEI
123 ()   ∃y(~象y&鼻ay)      36イEE
123 ()               ~長a  4ウMPP
12  (オ)   ∃y( 兎y&鼻ay)→~長a  3エCP
12  (カ)∀x{∃y( 兎y&鼻xy)→~長x} オUI
然るに、
(09)
(ウ)の行において、EEが正しく使われていることを知るためには、
(イ)の行をしらべてみる。そこにおいてえられている結論は「b」を含んでいない。もちろん、
(イ)が依存している三つの仮定のうち、代表的選言項である(6)は「b」を含んでいるが、
(1)と(2)は、両方とも、「b」を含んでいない。こうして制限はまもられているのである。
(論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、148頁改)
cf.
UIの適用の際に、「注意」をすれば、良いだけなので、実際には、
12 6(ア)      ~象b&鼻ab       89&I
123 (イ)      ~象b&鼻ab       36ア
123 (ウ)   ∃y(~象y&鼻ay)      36イEE
であっても、「問題」は、生じない。
従って、
(01)~(09)により、
(10)
(a)
1  (1)   ∀x(馬x→動x)               A
 2 (2)   ∃y(馬y&頭ay)              A
  3(3)      馬b&頭ab               A
  3(4)      馬b                   3&E
  3(5)         頭ab               3&E
1  (6)      馬b→動b                1UE
1 3(7)         動b                46MPP
1 3(8)      動b&頭ab               57&I
1 3(9)   ∃y(動y&頭ay)              8EI
12 (ア)   ∃y(動y&頭ay)              239EE
1  (イ)   ∃y(馬y&頭ay)→∃y(動y&頭ay)   2アCP
1  (ウ)∀x{∃y(馬y&頭xy)→∃y(動y&頭xy)}  イUI
といふ、E.J.レモンが行った「計算」を、「手本」にして、私が行った、
(b)
1   (1)∀x{∃y(~象y&鼻xy)→~長x} A
 2  (2)∀y{兎y→~象y}          A
  3 (3)∃y(兎y&鼻ay)          A
1   (4)   ∃y(~象y&鼻ay)→~長a  1UE
 2  (5)   兎b→~象b           2UE
   6(6)   兎b&鼻ab           A
   6(7)   兎b               6&E
12 6(8)      ~象b           57MPP
   6(9)      鼻ab           7&E
12 6(ア)      ~象b&鼻ab       89&I
12 6(イ)   ∃y(~象y&鼻ay)      アEI
123 (ウ)   ∃y(~象y&鼻ay)      36イEE
123 (エ)               ~長a  4ウMPP
12  (オ)   ∃y( 兎y&鼻ay)→~長a  3エCP
12  (カ)∀x{∃y( 兎y&鼻xy)→~長x} オUI
といふ「計算」に、「マチガイ」が無いため、
(1)すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
(2)鼻は象が長い。然るに、すべての兎は象ではない。故に、すべての兎の鼻は長くない。
といふ「論証」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当(Valid)」である。
仮に
(12)
さうではなく、
(a)の「計算」を、「手本」にして行った、
(b)の「計算」に、「マチガイ」があるならば、
(2)鼻は象が長い。然るに、すべての兎は象ではない。故に、すべての兎の鼻は長くない。
といふ「論証」は、「日本語」としては、「妥当(Valid)」であるが、「述語論理」としては「妥当(Valid)」ではない。
といふことになり、それ故、残念なことに、「鼻は象長い。」といふ「日本語」は、「非論理的な表現」である。といふ風に、言はざるを得ない。
平成30年12月01日、毛利太。

「同一律・排中律・矛盾律」。

(a)
1 (1)P→ Q A
 2(2)P&~Q A
 2(3)P    2&E
 2(4)  ~Q 2&E
12(5)   Q 13MPP
12(6)~Q&Q 45&I
1 (7) ~~Q 46RAA
1 (8)   Q 7DN
1 (9)~P∨Q 8∨I
(b)
1     (1) ~P∨ Q   A
 2    (2)  P&~Q   A
  3   (3) ~P      A
 2    (4)  P      2&E
 23   (5) ~P&P    34&I
  3   (6)~(P&~Q)  25RAA
   7  (7)     Q   P
 2    (8)    ~Q   2&E
 2 7  (9)  Q&~Q   78&I
   7  (ア)~(P&~Q)  29RAA
1     (イ)~(P&~Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  P      A
     エ(エ)    ~Q   A
    ウエ(オ)  P&~Q   ウエ&I
1   ウエ(カ)~(P&~Q)&
           P&~Q   イオ&I
1   ウ (キ)   ~~Q   エカRAA
1   ウ (ク)     Q   キDN
1     (ケ)  P→ Q   ウクCP
従って、
(02)
①   P→Q=PならばQである。
② ~P∨Q=Pでないか、Qであるか、少なくとも、その一方は正しい。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
(b)
1    (1)   ~P∨ Q  A
 2   (2)  ~~P&~Q  A
  3  (3)   ~P     A
 2   (4)  ~~P     2&E
 2   (5)    P     4DN
 23  (6)   ~P& P  35&I
  3  (7)~(~~P&~Q) 26RAA
   8 (8)       Q  A
 2   (9)      ~Q  2&E
 2 8 (ア)    Q&~Q  89&I
   8 (イ)~(~~P&~Q) 2アRAA
1    (ウ)~(~~P&~Q) 1378イ∨E
(c)
1    (1)~(~~P&~Q)  A
1    (2)  ~(P&~Q)  1DN
  3  (3)    P      A
   4 (4)      ~Q   A
  34 (5)    P&~Q   34&I
1 34 (6)  ~(P&~Q)&
            P&~Q   25&I
1 3  (7)     ~~Q   4RAA 
1 3  (8)       Q   7DN
1    (9)    P→ Q   38CP
    ア(ア)    P&~Q   ア
    ア(イ)    P      ア&E
    ア(ウ)      ~Q   ア&E
1   ア(エ)       Q   9イMPP
1   ア(オ)    ~Q&Q   ウエ&I
1    (カ)     ~~Q   ウオRAA
1    (キ)       Q   カDN
1    (ク)    ~P∨Q   キ∨I
従って、
(03)により、
(04)
②    ~P∨ Q =Pでないか、    Qであるか、少なくとも、その一方は正しい。
③ ~(~~P&~Q)=Pでない、でないと、Qでないの、両方とも、正しい。といふことはない。
に於いて、
②=③ である。
従って、
(02)(04)により、
(05)
①    P→ Q =PならばQである。
②  ~P∨ Q =Pでないか、Qであるか、少なくとも、その一方は正しい。
③ ~(P&~Q)=Pであると、Qでないの、両方とも、正しい。といふことはない。
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(05)により、
(06)
①    P→ Q =PならばQである。
②  ~P∨ Q =Pでないか、Qであるか、少なくとも、その一方は正しい。
③ ~(P&~Q)=Pであると、Qでないの、両方とも、正しい。といふことはない。
に於ける、
② を、「含意の定義」と呼び、
③ も、「含意の定義」と呼ぶ。
然るに、
(05)により、
(07)
①    P→ Q =PならばQである。
②  ~P∨ Q =Pでないか、Qであるか、少なくとも、その一方は正しい。
③ ~(P&~Q)=Pであると、Qでないの、両方とも、正しい。といふことはない。
に於いて、
① Q=P
② Q=P
③ Q=P
といふ「代入(Replacement)」を行ふと、
①    P→ P =PならばPである。
②  ~P∨ P =Pでないか、Pであるか、少なくとも、その一方は正しい。
③ ~(P&~P)=Pであると、Pでないの、両方とも、正しい。といふことはない。
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(07)により、
(08)
①    P→ P =「同一律(Law of Identity)」。
②  ~P∨ P =「排中律 (Law of excluded middle)」。
③ ~(P&~P)=「矛盾律(Law of noncontradiction)」。
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(09)
「対偶、加法の交換法則、乗法の交換法則」により、
①    P→ P =PならばPである。
④   ~P→~P  =PでないならばPでない。
⑤    P∨~P  =Pであるか、Pでないか、少なくとも、その一方は正しい。
②  ~P∨ P =Pでないか、Pであるか、少なくとも、その一方は正しい。
③ ~(P&~P)=Pであると、Pでないの、両方とも、正しい。といふことはない。
⑥ ~(~P&P)=Pでないと、Pであるの、両方とも、正しい。といふことはない。
に於いて、
①=②=③=④=⑤=⑥ である。
然るに、
(10)
01(1)P   A
0 (2)P→P 11CP
(11)
01 (1) ~(~P∨P)        A
0 2(2)   ~P           A
0 2(3)   ~P∨P         2∨I
012(4) ~(~P∨P)&
        (~P∨P)        13&I
01 (5)  ~~P           24RAA
01 (6)    P           5DN
01 (7)   ~P∨P         6∨I
01 (8) ~(~P∨P)&
        (~P∨P)        17&I
0  (9)~~(~P∨P)        18RAA
0  (ア)   ~P∨P         9DN
(12)
01(1)  P&~P  A
0 (2)~(P&~P) 11RAA
従って、
(10)(11)(12)により、
(13)
①    P→ P =「同一律(Law of Identity)」。
②  ~P∨ P =「排中律 (Law of excluded middle)」。
③ ~(P&~P)=「矛盾律(Law of noncontradiction)」。
に於ける、
① の「仮定」の「個数」=0個。
② の「仮定」の「個数」=0個。
③ の「仮定」の「個数」=0個。
である。
従って、
(13)により、
(14)
「同一律・排中律・矛盾律」は、「仮定」の「個数」が、「0個」であって、尚且つ、「正しい」。
然るに、
(15)
「仮定」の「個数」が、「0個」であって、尚且つ、「正しい」。
といふことは、「仮定」に依存せずに、「正しい」。
といふことに、他ならない。
然るに、
(16)
「仮定」に依存せずに、「正しい」。
といふことは、
「恒に、正しい」。
といふことに、他ならない。
従って、
(09)~(16)により、
(17)
①    P→ P =PならばPである。
④   ~P→~P  =PでないならばPでない。
⑤    P∨~P  =Pであるか、Pでないか、少なくとも、その一方は正しい。
②  ~P∨ P =Pでないか、Pであるか、少なくとも、その一方は正しい。
③ ~(P&~P)=Pであると、Pでないの、両方とも、正しい。といふことはない。
⑥ ~(~P&P)=Pでないと、Pであるの、両方とも、正しい。といふことはない。
といふ「同一律・排中律・矛盾律」に於いて、
①=②=③=④=⑤=⑥ であって、
尚且つ、これらの「6つ」は、それぞれ、「恒に、正しい」。
従って、
(17)により、
(18)
「同一律」と、
「排中律」と、
「矛盾律」は、互いに、「同じこと」の「言い換へ」に過ぎない。はずである。
然るに、
(19)
公平を期するならば、この法則(排中律)がすべての場合にあてはまるかどうかは疑われうるし、また疑われてきたと言わなければならない。たとえば、君が細君を打つことをやめたかやめないかである。ということは真であろうか(論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、67頁改)。
との、ことである。
従って、
(19)により、
(20)
「論理学初歩」の著者である、E.J.レモンは、
「排中律」と、「排中律・矛盾律」は、互いに、「同じこと」の「言い換へ」に過ぎない。といふわけではない。
といふ風に、述べてゐる。
平成30年12月04日、毛利太。

「象が鼻は長い。」と「鼻は象が長い。」と「述語論理」。

(01)
(a)
1    (1)∀x{∃y(~象y&鼻xy)→~長x}  A
1    (2)   ∃y(~象y&鼻ay)→~長a   1UE
 3   (3)      ~象b&鼻ab →~長a   A
  4  (4)   ∃y( 鼻ay&長a)       A
   5 (5)       鼻ab&長a        A
   5 (6)           長a        5&E
   5 (7)         ~~長a        6DN
 3 5 (8)    ~(~象b&鼻ab)       37MTT
 3 5 (9)    ~~象b∨~鼻ab        8ド・モルガンの法則
 3 5 (ア)     ~象b→~鼻ab        9含意の定義
    イ(イ)     ~象b             A
 3 5イ(ウ)         ~鼻ab        アイMPP
   5 (エ)       鼻ab           5&E
 3 5イ(オ)     ~鼻ab&鼻ab        ウエ&I
 34 イ(カ)     ~鼻ab&鼻ab        45オEE
 3  イ(キ)  ~∃y( 鼻ay&長a)       4カRAA
 3   (ク)  ~∃x( 鼻bx&長b)       キ(変数は前後参照のための方便に過ぎないため。)
然るに、
(02)
 3   (ク)  ~∃x( 鼻bx&長b)       キ(変数は前後参照のための方便に過ぎないため。)
といふ「結果」を受けての「計算」は、おそらくは、「無理」である。
然るに、
(03)
(b)
1  (1)∀x{~象x→~∃y(鼻yx& 長y)} A
1  (2)   ~象a→~∃y(鼻ya& 長y)  A
 3 (3)∃x(~象x&鼻bx)          A
  4(4)   ~象a&鼻ba           A
  4(5)   ~象a               4&E
1 4(6)       ~∃y(鼻ya& 長y)  25MPP
1 4(7)       ∀y~(鼻ya& 長y)  6量化子の関係
1 4(8)         ~(鼻ba& 長b)  7UE
1 4(9)          ~鼻ba∨~長b   8ド・モルガンの法則 
1 4(ア)           鼻ba→~長b   9含意の定義
  4(イ)           鼻ba       4&E
1 4(ウ)               ~長b   アイMPP
13 (エ)               ~長b   34ウEE
1  (オ)   ∃x(~象x&鼻bx)→~長b   3エCP
1  (カ)∀y{∃x(~象x&鼻yx)→~長y}  オUI
1  (〃)∀x{∃y(~象y&鼻xy)→~長x}  オUI(変数は前後参照のための方便に過ぎないため。)
cf.
1 (1)∀x∃yFxy A
1 (2)  ∃yFay 1UE
 3(3)    Fab A
 3(4)  ∃xFxb 3EI
1 (5)  ∃xFxb 234EE
1 (6)∀y∃xFxy 5UI(変数は前後参照のための方便に過ぎないため。)
といふ「計算」、すなはち、
1 (1)∀x{∃y(Fxy)} A
1 (2)   ∃y(Fay)  1UE
 3(3)      Fab   A
 3(4)   ∃x(Fxb)  3EI
1 (5)   ∃x(Fxb)  234EE
1 (6)∀y{∃x(Fxy)} 5UI(変数は前後参照のための方便に過ぎないため。)
といふ「計算」自体は、セーフです。
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
(a)鼻は象が長い=∀x{∃y(~象y&鼻xy)→~長x}。
(b)象が鼻は長い=∀x{~象x→~∃y(鼻yx&長y)}。
に於いて、すなはち、
(a)∀x{∃y(~象y&鼻xy)→~長x}=いかなるxであっても{xがある象ではないyの鼻ならば、xは長くない}。
(b)∀x{~象x→~∃y(鼻yx&長y)}=いかなるxであっても{xが象でないならば、あるyがxの鼻であって、そのyが長い、といふことはない}。
に於いて、
(a)=(b) であることを「証明」することは、「ムズカシイ」か、「ムリ」である。
しかしながら、
(05)
次の「二つの推論」自体は、「妥当(Valid)」です。
(a)
Ⅰ   (Ⅰ)鼻は象が長い。 A
Ⅰ   (〃)∀x{∃y(~象y&鼻xy)→~長x} A
Ⅰ   (〃)いかなるxであっても{xが、ある象ではないyの鼻であるならば、xは長くない}。 A
 Ⅱ  (Ⅱ)∀y{兎y→~象y}          A
  3 (3)∃y(兎y&鼻ay)          A
Ⅰ   (4)   ∃y(~象y&鼻ay)→~長a  ⅠUE
 Ⅱ  (5)   兎b→~象b           ⅡUE
   6(6)   兎b&鼻ab           A
   6(7)   兎b               6&E
ⅠⅡ 6(8)      ~象b           57MPP
   6(9)      鼻ab           7&E
ⅠⅡ 6(ア)      ~象b&鼻ab       89&I
ⅠⅡ 6(イ)   ∃y(~象y&鼻ay)      アEI
ⅠⅡ3 (ウ)   ∃y(~象y&鼻ay)      36イEE
ⅠⅡ3 (エ)               ~長a  4ウMPP
ⅠⅡ  (オ)   ∃y( 兎y&鼻ay)→~長a  3エCP
ⅠⅡ  (Ⅲ)∀x{∃y( 兎y&鼻xy)→~長x} オUI
ⅠⅡ  (〃)いかなるxであっても{あるyが兎であって、xがyの鼻であるならば、xは長くない}。
ⅠⅡ  (〃)兎の鼻は長くない。
(b)
Ⅰ   (Ⅰ)象が鼻は長い。 A
Ⅰ   (〃)∀x{~象x→~∃y(鼻yx&長y)} A
Ⅰ   (〃)すべてのxについて{xが象でないならば、あるyがxの鼻であって、長い、といふことはない}。 A
 Ⅱ  (Ⅱ)∀x{兎x→~象x}          A
  3 (3)∃x(兎x&鼻bx)          A
Ⅰ   (4)   ~象a→~∃y(鼻ya&長y)  ⅠUE
 Ⅱ  (5)   兎a→~象a           ⅡUE
   6(6)   兎a&鼻ba           A
   6(7)   兎a               6&E
 Ⅱ 6(8)      ~象a           57MPP
ⅠⅡ 6(9)       ~∃y(鼻ya&長y)  48MPP
ⅠⅡ 6(ア)       ∀y~(鼻ya&長y)  9量化子の関係
ⅠⅡ 6(イ)         ~(鼻ba&長b)  アUE
ⅠⅡ 6(ウ)         ~鼻ba∨~長b   イ、ド・モルガンの法則
ⅠⅡ 6(エ)          鼻ba→~長b   ウ含意の定義
   6(オ)          鼻ba       6&E
ⅠⅡ 6(カ)              ~長b   エオMPP
ⅠⅡ3 (キ)              ~長b   36カEE
ⅠⅡ  (ク)   ∃x(兎x&鼻bx)→~長b   3キCP
ⅠⅡ  (Ⅲ)∀y{∃x(兎x&鼻yx)→~長y   クUI
ⅠⅡ  (〃)いかなるyであっても{あるxが兎であって、yがxの鼻であるならば、yは長くない}。
ⅠⅡ  (〃)兎の鼻は長くない。
従って、
(05)により、
(06)
(Ⅰ)鼻は象が長い。然るに、
(Ⅱ)兎は象ではない。故に、
(Ⅲ)兎の鼻は長くない。
といふ「推論(三段論法)」が、成立し、尚且つ、
(07)
(Ⅰ)象が鼻は長い。然るに、
(Ⅱ)兎は象ではない。故に、
(Ⅲ)兎の鼻は長くない。
といふ「推論(三段論法)」が、成立します。
従って、
(06)(07)により、
(08)
{象の鼻、兎の鼻、麒麟の鼻}
{象の耳、兎の耳、麒麟の耳}
{象の首、兎の首、麒麟の首}
といふ「変域」に於いて、
「鼻は象が長い。」と言へることと、
「象が鼻は長い。」と言へることは、
「兎の鼻は長くない。」といふことが言へるための、「十分条件」です。
然るに、
(09)
(b)
1(1)~∃y(鼻yx&長y) A
1(2)∀y~(鼻yx&長y) 1量化子の関係
1(3)  ~(鼻bx&長b) 2UE
1(4)  ~鼻bx∨~鼻b  3ド・モルガンの法則
1(5)   鼻bx→~鼻b  含意の定義
1(6)∀y(鼻yx→~鼻y) 5UI
(c)
1 (1) ∀y(鼻yx→ ~長y) A
1 (2)    鼻bx→ ~長b  1UE
1 (3)   ~鼻bx∨ ~長b  2含意の定義
1 (4)~~(~鼻bx∨ ~長b) 3DN
1 (5)~(~~鼻bx&~~長b) 4ドモルガンの法則
1 (6)  ~(鼻bx&  長b) 5DN
 7(7) ∃y(鼻yx&  長y) A
 7(8)    鼻bx&  長b  7EI
17(9)  ~(鼻bx&長b)&
        (鼻bx&長b)   68&I
1 (ア)~∃y(鼻yx&  長y) 79RAA
従って、
(09)により、
(10)
(b)~∃y(鼻yx&長y)
(c)∀y(鼻yx→~長y)
に於いて、
(b)=(c) である。
従って、
(10)
(Ⅰ)鼻は象が長い。然るに、
(〃)∀x{~象x→~∃y(鼻yx&長y)}。然るに、
(Ⅱ)兎は象ではない。故に、
(Ⅲ)兎の鼻は長くない。
に於ける、
(〃)∀x{~象x→~∃y(鼻yx&長y)}。 は、
(〃)∀x{~象x→∀y(鼻yx→~長y)}。 と、「同じ」です。
従って、
(05)(10)により、
(11)
次の「推論」も、「妥当(Valid)」です。
Ⅰ   (Ⅰ)象の鼻が長い。 A
Ⅰ   (〃)∀x{~象x→∀y(鼻yx→~長y)} A
Ⅰ   (〃)すべてのxについて{xが象でないならば、すべてのyについて(yがxの鼻であるならば、yは長くない)}。
 Ⅱ  (Ⅱ)∀x{兎x→~象x}          A
  3 (3)∃x(兎x&鼻bx)          A
Ⅰ   (4)   ~象a→∀y(鼻ya→~長y)  A
 Ⅱ  (5)   兎a→~象a           ⅡUE
   6(6)   兎a&鼻ba           A
   6(7)   兎a               6&E
 Ⅱ 6(8)      ~象a           57MPP
ⅠⅡ 6(9)       ∀y(鼻ya→~長y)  48MPP
ⅠⅡ 6(ア)          鼻ba→~長b   9UE
   6(イ)          鼻ba       6&E
ⅠⅡ 6(ウ)              ~長b   アイMPP
ⅠⅡ3 (エ)              ~長b   36ウEE
ⅠⅡ  (オ)   ∃x(兎x&鼻bx)→~長b   3エCP
ⅠⅡ  (カ)∀y{∃x(兎x&鼻yx)→~長y   オUI
ⅠⅡ  (〃)いかなるyであっても{あるxが兎であって、yがxの鼻であるならば、yは長くない}。
ⅠⅡ  (〃)兎の鼻は長くない。
従って、
(11)により、
(12)
Ⅰ   (Ⅰ)象の鼻が長い。 A
Ⅰ   (〃)∀x{~象x→∀y(鼻yx→~長y)} A
Ⅰ   (〃)すべてのxについて{xが象でないならば、すべてのyについて(yがxの鼻であるならば、yは長くない)}。
であるとして、
(Ⅰ)象の鼻が長い。然るに、
(Ⅱ)兎は象ではない。故に、
(Ⅲ)兎の鼻は長くない。
といふ「推論(三段論法)」が、成立します。
従って、
(08)(12)により、
(13)
「兎は象ではない。」といふことは、
「常識(当然の仮定)」であるため、
{象の鼻、兎の鼻、麒麟の鼻}
{象の耳、兎の耳、麒麟の耳}
{象の首、兎の首、麒麟の首}
といふ「変域」に於いて、
「鼻は象長い。」と言へることと、
「象鼻は長い。」と言へることと、
「象の鼻長い。」と言へることは、
「兎の鼻は長くない。」といふことが言へるための、「十分条件」です。
平成30」年12月01日、毛利太。
次のページ
プロフィール

タカ

Author:タカ
写真は蛍雪時代(高三)。この頃に、漢文が好きになりました。

リンク
このブログをリンクに追加する
最近の記事
月別アーカイブ
ブログ内検索
RSSフィード
最近のコメント