象は鼻が長い。述語論理。 - 返り点に対する「括弧」の用法について提案
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「対偶」と「は・が」と「三上文法」と「述語論理」。

(01)
であって、Bである。
② Bであって、である。
に於いて、
①=② である。
cf.
交換法則(commutative law)」といふ。
従って、
(02)
① Aであって、でない。
でなくて、Aである。
に於いて、
①=② である。
従って、
(03)
①(Aであって、Bでない。)といふことはない。
②(Bでなくて、Aである。)といふことはない。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(04)
①(Aであって、Bでない。)といふことはない。
②(Bでなくて、Aである。)といふことはない。
といふことは、「順番」に、
③ Aであるならば、Bである。
④ Bでないならば、Aでない。
といふことに、他ならない。
従って、
(01)~(04)により、
(05)
③ Aであるならば、Bである。
④ Bでないならば、Aでない。
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(06)
(a)
1  (1)~(A&~B)  A
 2 (2)  A      A
  3(3)    ~B   A
 23(4)  A&~B   23&I
123(5)~(A&~B)&
       (A&~B)  14&I
12 (6)   ~~B   35RAA
12 (7)     B   6DN
1  (8)  A→ B   27CP
(b)
1  (1)  A→ B   27CP
 2 (2)  A&~B   A
 2 (3)  A      2&E
12 (4)     B   13MPP
 2 (5)    ~B   2&E
12 (6)  B&~B   45&I
1  (7)~(A&~B)  26RAA
(c)
1  (1)  A→ B   A
 2 (2)    ~B   A
  3(3)  A      A
1 3(4)     B   13MPP
123(5)  ~B&B   24&I
12 (6) ~A      35RAA
1  (7) ~B→~A   26CP
(d)
1  (1) ~B→~A   A
 2 (2)     A   A
  3(3) ~B      A
1 3(4)    ~A   13MPP
123(5)  A&~A   24&I
12 (6)~~B      35RAA
12 (7)  B      6DN
1  (8)  A→ B   27CP
従って、
(04)(05)(06)により、
(07)
① ~( A&~B)≡(Aであって、Bでない。)といふことはない。
② ~(~B& A)≡(Bでなくて、Aである。)といふことはない。
③    A→ B ≡ Aであるならば、Bである。
④   ~B→~A ≡ Bでないならば、Aでない。
に於いて、
①=②=③=④ である。
従って、
(01)~(07)により、
(08)
いづれにせよ、
③ Aであるならば、Bである。
④ Bでないならば、Aでない。
に於いて、
③=④ であって、この「等式」を、「対偶(Contraposition)」といふ。
然るに、
(09)
③ Aであるならば、Bである。
④ Bでないならば、Aでない。
に於いて、
A=B
B=A
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
② Bであるならば、Aである。
③ Aでないならば、Bでない。
従って、
(08)(09)により、
(10)
② Bであるならば、Aである。
③ Aでないならば、Bでない。
に於いて、
②=③ であって、この「等式」を、「対偶(Contraposition)」といふ。
然るに、
(11)
② Bであるならば、Aである。
③ Aでないならば、Bでない
といふことは、
② BはAである。
③ A以外はBでない
といふ、ことである。
従って、
(10)(11)により、
(12)
② BはAである。
③ A以外はBでない
に於いて、
②=③ であって、この「等式」を、「対偶(Contraposition)」といふ。
然るに、
(13)
① AはBである。
② BはAである。
に於いて、
①と②は、互いに、「(Converse)」である。
然るに、
(14)
ある命題とその逆の真偽は、必ずとも一致しない(逆は必ずしも真ならず)。この表現は日常生活や数学の中でことわざのように使用されることがある(ウィキペディア)。
従って、
(12)(13)(14)により、
(15)
① AはBである。
② BはAである。
③ A以外はBでない
に於いて、
①=② は、 「偶然」であるが、
②=③ といふ「対偶」は、「必然」である。
従って、
(15)により、
(16)
例へば、
① 私は理事長です。
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない
に於いて、
①=② は、 「偶然」であるが、
②=③ といふ「対偶」は、「必然」である。
然るに、
(17)
よく知られているように、「私理事長です」は語順を変え、
 理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
 タゴール記念会は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
(三上章、日本語の論理、1963年、40・41頁)
従って、
(16)(17)
(18)
① 私は理事長です。
理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない
④ 私理事長です。
に於いて、
①=② は、 「偶然」であるが、
②=③ といふ「対偶」は、「必然」であって、
②=④ であるといふ「事実」が、「よく知られている」。
従って、
(15)~(18)により、
(19)
「番号」を付け直すと、
① AはBである。
② ABである。
はAである。
④ A以外はBでない
に於いて、
①=② ではないが、
  ②=③=④ である。
然るに。
(20)
② ABである。
はAである。
④ A以外はBでない
といふのであれば、
① AはBである。
従って、
(14)(20)により、
(21)
① AはBである。
② ABである。
に於いて、
② ならば、① であるが、
① ならば、② であるとは、限らない
然るに、
(22)
1  (1)②→ ① A
 2 (2)  ~① A
  3(3)②    A
1 3(4)   ① 13MPP
123(5)~①&① 24&I
1 3(6) ~~①  25RAA
1 3(7)   ① 6DN
従って、
(22)により、
(23)
② ならば、① である。
として、  ① ではなく、その上、
② である。とすると、「矛盾」する。
従って、
(23)により、
(24)
② ならば、① である。
として、
② であるためには、
① でない、ではない。
といふことを、すなはち、
① であることを、「必要」とする。
従って、
(20)~(24)により、
(25)
① AはBである。
② ABである。
に於いて、
① であるといふことは、
② であるといふことの、「必要条件」であって、「十分条件」ではない
従って、
(25)により、
(26)
① 私は理事長である。
② 私理事長である。
に於いて、
① であるといふことは、
② であるといふことの、「必要条件」であって、「十分条件」ではない
従って、
(17)(26)により、
(27)
① タゴール記念会は、私は理事長である。
② タゴール記念会は、私理事長である。
に於いて、
① であるといふことは、
② であるといふことの、「必要条件」であって、「十分条件」ではない
然るに、
(28)
① タゴール記念会は、私は理事長である。
② タゴール記念会は、私理事長である。
であれば、
① ∀x{T会の会員x→∃y[私y&理事長yx]}
② ∀x{T会の会員x→∃y[私y&理事長yx&∀z(理事長zx→y=z)]}
といふ風に、書くことが出来、
① であるといふことは、確かに、
② であるといふことの、「必要条件」であって、「十分条件」ではない
従って、
(28)により、
(29)
① タゴール記念会は、私は理事長である。
② タゴール記念会は、私理事長である。
といふ「日本語」が、「真(本当)」であるためには、
① ∀x{T会の会員x→∃y[私y&理事長yx]}
② ∀x{T会の会員x→∃y[私y&理事長yx&∀z(理事長zx→y=z)]}
といふ「条件」、すなはち、
① すべてのxについて、xがタゴール記念会の会員であるならば、あるyは私であって、私はxの理事長である。
② すべてのxについて、xがタゴール記念会の会員であるならば、あるyは私であって、xの理事長であって、すべてのzについて、zがxの理事長であるならば、yはzと「同一」である。
といふ「条件」を満たしてゐる、「必要」がある。
然るに、
(30)
1     (1)∀x{T会の会員x→∃y[私y&理事長yx&∀z(理事長zx→y=z)]} A
1     (2)   T会の会員a→∃y[私y&理事長ya&∀z(理事長za→y=z)]  1UE
 3    (3)   T会の会員a                             A
13    (4)          ∃y[私y&理事長ya&∀z(理事長za→y=z)]  34MPP
  5   (5)             私b&理事長ba&∀z(理事長za→b=z)   A
  5   (6)             私b&理事長ba                 5&E
  5   (7)                      ∀z(理事長za→b=z)   5&E
  5   (8)                         理事長ca→b=c    7UE
   9  (9)       ∃z(倉田z&~私z)                      A
    ア (ア)          倉田c&~私c                       A
    ア (イ)          倉田c                           ア&E
    ア (ウ)              ~私c                       ア&E
     エ(エ)                b=c                     A
    アエ(オ)            ~私b                       ウエ=E
  5   (カ)             私b                       6&E
  5 アエ(キ)            ~私b&私b                    オカ&I
  5 ア (ク)              b≠c                     エキRAA
  5 ア (ケ)                        ~理事長ca        8クMTT
  5 ア (コ)        倉田c&~理事長ca                    イケ&I
  5 ア (サ)     ∃z(倉田z&~理事長za)                   コEI
  59  (シ)     ∃z(倉田z&~理事長za)                   9アサEE
13 9  (ス)     ∃z(倉田z&~理事長za)                   45シEE
1  9  (セ)   T会の会員a→∃z(倉田z&~理事長za)              3ス&I
1  9  (シ)∀x{T会の会員x→∃z(倉田z&~理事長zx)}             セUI
従って、
(30)により、
(31)
① ∀x{T会の会員x→∃y[私y&理事長yx&∀z(理事長zx→y=z)]}。然るに、
② ∃z(倉田z&~私z)。従って、
③ ∀x{T会の会員x→∃z(倉田z&~理事長zx)}。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのxについて、xがタゴール記念会の会員であるならば、あるyは私であって、xの理事長であって、すべてのzについて、zがxの理事長であるならば、yはzと「同一」である。
② あるzは倉田氏であって、私ではない。
③ すべてのxについて、xがタゴール記念会の会員であるならば、あるyは倉田氏であって、zはxの理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
(32)
① タゴール記念会は、私理事長である。然るに、
② 倉田氏は私ではない。従って、
③ タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
(29)~(32)により、
(33)
仮に、
① タゴール記念会は、私理事長である。⇔
① ∀x{T会の会員x→∃y[私y&理事長yx&∀z(理事長zx→y=z)]}。⇔
① すべてのxについて、xがタゴール記念会の会員であるならば、あるyは私であって、xの理事長であって、すべてのzについて、zがxの理事長であるならば、yはzと「同一」である。
といふ「等式」から、
① ∀z(理事長zx→y=z)。
① すべてのzについて、zがxの理事長であるならば、yはzと「同一」である。
といふ「条件を除いてしまふのであれば、
① タゴール記念会は、私理事長である。然るに、
② 倉田氏は私ではない。従って、
③ タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない
然るに、
(34)
① ∀z(理事長zx→y=z)。
① すべてのzについて、zがxの理事長であるならば、yはzと「同一」である。
といふことは、
① y(私)以外は、x(タゴール記念会)の理事長ではない
といふことである。
従って、
(18)(33)(34)により、
(35)
① タゴール記念会は、私理事長である。
といふ「日本語」が、
① 私はタゴール記念会の理事長であって、私以外はタゴール記念会の理事長ではない
といふ「意味」でない
とするならば、
① タゴール記念会は、私が理事長である。然るに、
② 倉田氏は私ではない。従って、
③ タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない
従って、
(33)~(36)により、
(36)
対偶」で言ふならば、
① タゴール記念会は、私理事長である。然るに、
② 倉田氏は私ではない。従って、
③ タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」が、「妥当」であるならば、
① タゴール記念会は、私理事長である。
といふ「日本語」が、
① 私はタゴール記念会の理事長であって、私以外はタゴール記念会の理事長ではない
といふ「意味」ある。といふことを、「否定」することは、出来ない
然るに、
(37)
① タゴール記念会は、私理事長である。然るに、
② 倉田氏は私ではない。従って、
③ タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
(33)~(37)により、
(38)
① タゴール記念会は、私理事長である。⇔
① タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長ではない。⇔
① ∀x{T会の会員x→∃y[私y&理事長yx&∀z(理事長zx→y=z)]}。⇔
① すべてのxについて、xがタゴール記念会の会員であるならば、あるyは私であって、xの理事長であって、すべてのzについて、zがxの理事長であるならば、yはzと「同一」である。
といふ「等式」は、三上章先生であっても、「否定」することは、出来ない
然るに、
(39)
少なくとも、
「三上章、象は鼻が長い、1992年、第21版」、
「三上章、日本語の論理、1963年、第 1版」等を読む限り、三上章先生は、
① 象は鼻長い≡∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
① タゴール記念会は、私理事長である≡∀x{T会の会員x→∃y[私y&理事長yx&∀z(理事長zx→y=z)]}。
といふ「解釈」をされては、ゐない。
然るに、
(40)
伝統的論理学を清水滉『論理学』(1916年)で代表させよう。わたしのもっているのが四十三年の第十九冊の一冊で、なお引き続き刊行だろうから、前後かなり多くの読者をもつ論理学書と考えられる。新興の記号論理学は、沢田允茂『現代論理学入門』(1962年)を参照することにする(三上章、日本語の論理、1963年、4頁)。
付録2 近代論理学抄:”クセジュ文庫”(J.Chauvineau:La Logique moderne '57)第2章の初めの二節を、訳者の許しを得てここに再録します(三上章、象は鼻が長い、1992年、第21版、216頁)。
従って、
(41)
三上章先生は、
① 象は鼻長い≡∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
① タゴール記念会は、私理事長である≡∀x{T会の会員x→∃y[私y&理事長yx&∀z(理事長zx→y=z)]}。
といふ「解釈」はされてはゐないものの、「述語論理(Predicate logic)」に対しては、関心を寄せられてゐた
従って、
(42)
三上章先生は、「述語論理」に対しては、関心を寄せられてゐたものの、惜しむらくは
① 象は鼻長い。
① タゴール記念会は、私理事長である。
といふ「日本語」を、「述語論理」に「翻訳」するとしたら、「どのやうな訳」になるのか、といふことまでは、考へてはゐなかった。
といふ、ことである。
令和02年01月18日、毛利太。

「薬は、唐のはめでたし」の「述語論理」。

(01)
① 鼻は象の鼻長い。⇔
① ∀x∀y{(鼻xy&象y)⇔長x}⇔
① ∀x∀y{(鼻xy&象y)→長x&長x→(鼻xy&象y)}⇔
① すべてのxとyについて、xがyの鼻であって、yが象ならば、そのときに限って、xは長い。
(02)
② 薬は唐の薬良い。⇔
② ∀x∀y{(薬xy&唐y)⇔良x}⇔
② ∀x∀y{(薬xy&唐y)→良x&良x→(薬xy&唐y)}⇔
② すべてのxとyについて、xがyの薬であって、yが唐ならば、そのときに限って、xは良い。
(03)
③ 薬は唐の薬良い。⇔
③ ∀x∀y{(薬xy&唐y)→良x}⇔
③ すべてのxとyについて、xがyの薬であって、yが唐ならば、xは良い。
然るに、
(04)
【1】[が][
③ 体言を代用する。〈・・・・・のモノ〉
薬は、唐のはめでたし。 [訳]薬は中国のものはすばらしい。
(中村菊一、重点整理 基礎からわかる古典文法、1978年、154頁)
従って、
(03)(04)により、
(05)
③ 薬は、唐はめでたし。⇔
③ ∀x∀y{(薬xy&唐y)→素晴x}⇔
③ すべてのxとyについて、xがyの薬であって、yが唐ならば、xは素晴らしい。
に於いて、
③「の」=「の薬」
であって、
③「の」は「体言(薬)」の「代用」である。
従って、
(05)により、
(06)
「体言」の「代用」としての「」に関しては、前から、知ってゐて、何らの疑問も、持ってはゐない。
然るに、
(07)
 はしがき
日本語の文法的手段のうち、最も重要なのはテニヲハです。中でもハです。本書は、問題をその一つに絞って、日本文法の土台を明らかにしようとしたものです。代行というの中心概念の一つになっています。ガノニヲ代行する。というものです。
三上章
然るに、
従って、
(07)により、
(08)
③ 薬は、唐のはめでたし。
に於いて、
③「薬」は「何か」を「代行」してゐることになるものの、私には、
③「薬」が「薬は」以外の「何か」を「代行」してゐるとは、思へないし、「代用」してゐるとも、思へない。
従って、
(09)
代行というの中心概念の一つになっています。ガノニヲ代行する。というものです。
とはいふものの、「三上章 著、象は鼻が長い」を何度、読んでも、結局は、私には、「代行」といふ「言ひ方」が、何のことか、分からない。
(10)
「話」を、
② 薬は唐の薬良い。⇔
② ∀x∀y{(薬xy&唐y)⇔良x}⇔
② ∀x∀y{(薬xy&唐y)→良x&良x→(薬xy&唐y)}⇔
② すべてのxとyについて、xがyの薬であって、yが唐ならば、そのときに限って、xは良い。
に戻して、
②の「否定」を「計算」すると、(11)の通りである。
(11)
(ⅱ)
1      (1)~∀x∀y{(薬xy&唐y)⇔良x}              A
1      (2)~∀x∀y{(薬xy&唐y)→良x&良x→(薬xy&唐y)}  1Df.⇔
1      (3)∃x~∀y{(薬xy&唐y)→良x&良x→(薬xy&唐y)}  2量化子の関係(は、ド・モルガンの法則である。)
1      (4)∃x∃y~{(薬xy&唐y)→良x&良x→(薬xy&唐y)}  2量化子の関係(は、ド・モルガンの法則である。)
 5     (5)    ~{(薬ay&唐y)→良a&良a→(薬ay&唐y)}  A
  6    (6) ~{(薬ab&唐b)→良a}∨~{良a→(薬ab&唐b)}  5ド・モルガンの法則
   7   (7) ~{(薬ab&唐b)→良a}                 A
    8  (8)  ~(薬ab&唐b)∨良a                  A
    8  (9)   (薬ab&唐b)→良a                  8含意の定義
   78  (ア) ~{(薬ab&唐b)→良a}&
            {(薬ab&唐b)→良a}                 79&I
   7   (イ)~{~(薬ab&唐b)∨良a}                 8アRAA
   7   (ウ)  (薬ab&唐b)&~良a                  イ、ド・モルガンの法則
   7   (エ)  (唐b&薬ab)&~良a                  ウ交換法則
   7   (オ)  (唐b&薬ab)&~良a∨ ~(唐b&薬ab)&良a    エ∨I
     カ (カ)                ~{良a→(薬ab&唐b)}  A
      キ(キ)                 ~良a∨(薬ab&唐b)   A
      キ(ク)                  良a→(薬ab&唐b)   キ含意の定義
     カキ(ケ)                ~{良a→(薬ab&唐b)}&
                           {良a→(薬ab&唐b)}  カク&I
     カ (コ)               ~{~良a∨(薬ab&唐b)}  キケRAA
     カ (サ)                 良a&~(薬ab&唐b)   コ、ド・モルガンの法則
     カ (シ)                ~(薬ab&唐b)&良a    サ交換法則
     カ (ス)                ~(唐b&薬ab)&良a    シ交換法則
     カ (セ)  (唐b&薬ab)&~良a∨ ~(唐b&薬ab)&良a    ス∨I
  6    (ソ)  (唐b&薬ab)&~良a∨ ~(唐b&薬ab)&良a    67オカセ∨E
  6    (タ)  ∃y{(唐y&薬ay)&~良a∨~(唐y&薬ay)&良a} ソEI
 5     (チ)∃x∃y{(唐y&薬xy)&~良x∨~(唐y&薬xy)&良x} 56タEE
 5     (ツ)∃x∃y{(唐y&薬xy)&~良x∨~(唐y&薬xy)&良x} タEI
1      (テ)∃x∃y{(唐y&薬xy)&~良x∨~(唐y&薬xy)&良x} 15ツEE
(ⅲ)
1      (1)∃x∃y{(唐y&薬xy)&~良x∨~(唐y&薬xy)&良x}   A
 2     (2)  ∃y{(唐y&薬ay)&~良a∨~(唐y&薬ay)&良a}   A
  3    (3)     (唐b&薬ab)&~良a∨~(唐b&薬ab)&良a    A
   4   (4)     (唐b&薬ab)&~良a                 A
   4   (5)     (薬ab&唐b)&~良a                 4交換法則
    6  (6)     (薬ab&唐b)→ 良a                 A
   4   (7)     (薬ab&唐b)                     5&E
   46  (8)               良a                 67MPP
   4   (9)              ~良a                 4&E
   46  (ア)           良a&~良a                 89&I
   4   (イ)    ~{(薬ab&唐b)→良a}                6アRAA
   4   (ウ)  ~{(薬ab&唐b)→良a}∨~{良a→(薬ab&唐b)}   イ∨I
     エ (エ)                 ~(唐b&薬ab)&良a     A
     エ (オ)                 ~(薬ab&唐b)&良a     エ交換法則
      カ(カ)                   良a→(薬ab&唐b)    A
     エ (キ)                   良a             オ&E
     エカ(ク)                      (薬ab&唐b)    カキMPP
     エ (ケ)                 ~(薬ab&唐b)        カ&E
     エカ(コ)            (薬ab&唐b)&~(薬ab&唐b)    クケ&I
     エ (サ)                   ~{良a→(薬ab&唐b)  カコRAA
     エ (シ)    ~{(薬ab&唐b)→良a}∨~{良a→(薬ab&唐b)} サ∨I
  3    (ス)    ~{(薬ab&唐b)→良a}∨~{良a→(薬ab&唐b)} 34ウエシ∨
  3    (セ)    ~{(薬ab&唐y)→良a &  良a→(薬ab&唐b)} ス、ド・モルガンの法則
  3    (ソ)  ∃y~{(薬ay&唐y)→良a&良a→(薬ay&唐y)}    セEI
 2     (タ)  ∃y~{(薬ay&唐y)→良a&良a→(薬ay&唐y)}    セEI 23ソEI
 2     (チ)∃x∃y~{(薬xy&唐y)→良x&良x→(薬xy&唐y)}    セEI
1      (ツ)∃x∃y~{(薬xy&唐y)→良x&良a→(薬xy&唐y)}    12チEE
1      (テ)∃x~∀y{(薬xy&唐y)→良x&良x→(薬xy&唐y)}    ツ量化子の関係(は、ド・モルガンの法則である。)
1      (ト)~∀x∀y{(薬xy&唐y)→良x&良x→(薬xy&唐y)}    テ量化子の関係(は、ド・モルガンの法則である。)
1      (ナ)~∀x∀y{(薬xy&唐y)⇔良x}                トDf.⇔
従って、
(11)により、
(12)
② ~∀x∀y{(薬xy&唐y)⇔良x}
③ ∃x∃y{(唐y&薬xy)&~良x∨~(唐y&薬xy)&良x}
に於いて、すなはち、
② すべてのxとyについて、xがyの薬であって、yが唐ならば、そのときに限って、xは良い。といふわけであない。
③ あるxとyについて、yは唐であって、xはyの薬であるが、xは良くないか、yは唐であって、xはyの薬である、ではないが、xは良いか、または、その両方である。
に於いて、
②=③ である。
然るに、
(13)
② すべてのxとyについて、xがyの薬であって、yが唐ならば、そのときに限って、xは良い。といふわけであない。
③ あるxとyについて、yは唐であって、xはyの薬であるが、xは良くないか、yは唐であって、xはyの薬である、ではないが、xは良いか、または、その両方である。
といふことは、
③ 唐の薬であっても、良くない薬はあるし、唐の薬でなくとも、良い薬はある。
といふ、ことである。
従って、
(10)(13)により、
(14)
② 薬は唐の薬良い。といふわけではない。
③ 唐の薬であっても、良くない薬はあるし、唐の薬でなくとも、良い薬はある。
に於いて、
②=③ である。
然るに、
(15)
② 薬は唐の薬良い。といふわけではない。
③ 唐の薬であっても、良くない薬はあるし、唐の薬でなくとも、良い薬はある。
に於いて、
②=③ である。
といふことは、確かに、さうである。
従って、
(10)~(15)により、
(16)
② 薬は唐の薬良い。⇔
② ∀x∀y{(薬xy&唐y)⇔良x}⇔
② ∀x∀y{(薬xy&唐y)→良x&良x→(薬xy&唐y)}⇔
② すべてのxとyについて、xがyの薬であって、yが唐ならば、そのときに限って、xは良い。
といふ「等式」は、「正しい」。
令和02年正月04日、毛利太。

「象が鼻が長い」の「述語論理」(Ⅱ)。

(01)
①{象、机}
②{象、兎}
に於いて、
① ならば、{象動物である(机は動物ではない)。}は「本当(真)」であり、
② ならば、{象動物である(兎は動物ではない)。}は「ウソ(偽)」である。
従って、
(02)
①{象、□}
に於いて、
①{□動物でない。}ならば、そのときに限って
①{象動物である。}は、「本当」である。
従って、
(02)により、
(03)
① 象動物である。⇔
① 象は動物であり、象以外は動物ではない
といふ「等式」が、成立する。
従って、
(03)により、
(04)
① 鼻長い。⇔
① 鼻は長く、鼻以外は長くない
といふ「等式」が、成立する。
従って、
(03)(04)により、
(05)
① 象は鼻長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(06)
① 象鼻が長い。
といふことは、
① 象ならば、鼻が長い。
といふ、ことである。
従って、
(05)(06)により、
(07)
① 象長い。⇔
① 象ならば鼻は長く、鼻以外は長くない
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(08)
① 象ならば鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふことは、
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyは、xの鼻であって、長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
といふ、ことである。
従って、
(08)により、
(09)
① 象ならば鼻は長く、鼻以外は長くない
といふことは、「記号」で書くならば、
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
といふ、ことである。
従って、
(07)(08)(09)により、
(10)
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyは、xの鼻であって、長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
(04)(10)により、
(11)
② 象が鼻が長い。⇔
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くなく、象以外は、鼻以外は長くない、といふことはない。⇔
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x→~[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]}⇔
② すべてのxについて、xが象であるならば、あるyは、xの鼻であって、長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くなく、xが象でないならば、あるyが、xの鼻であって、長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない、といふことはない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(12)
② ~象→~[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]
③ [∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]→象x
に於いて、
②=③ は「対偶(Contraposition)」である。
従って、
(11)(12)により、
(13)
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x→~[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]}
③ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]→象x}
に於いて、
②=③ である。
然るに、
(14)
「Df.⇔」により、
③ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]→象x}
④ ∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
に於いて、
②=④ である。
(13)(14)により、
(15)
「番号」を付け直すと、
「Df.⇔」により、
① ∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]→象x}⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x→~[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]}
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(16)
(ⅰ)
1      (1)∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}  A
1      (2)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&
          ~象x→~[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]} 1Df.⇔
1      (3)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)&
          ~象a→~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]  2UE
1      (4)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)   3&E
1      (5)~象a→~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]  3&E
 6     (6)~象a                             A
16     (7)    ~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]  56MPP
16     (8)    ~∃y(鼻ya&長y)∨~∀z(~鼻za→~長z)   7ド・モルガンの法則
  9    (9)                ~∀z(~鼻za→~長z)   A
  9    (ア)                ∃z~(~鼻za→~長z)   9量化子の関係
   イ   (イ)                  ~(~鼻ba→~長b)   A
    ウ  (ウ)                     鼻ba∨~長b    A
    ウ  (エ)                    ~鼻ba→~長b    ウ含意の定義
   イウ  (オ)                  ~(~鼻ba→~長b)&   
                             (~鼻ba→~長b)   イエ&I
   イ   (カ)                   ~(鼻ba∨~長b)   ウオRAA
   イ   (キ)                    ~鼻ba& 長b    カ、ド・モルガンの法則
   イ   (ク)                 ∃z(~鼻za& 長z)   キEI
  9    (ケ)                 ∃z(~鼻za& 長z)   アイクEE
  9    (コ)     ~∃y(鼻ya&長y)∨∃z(~鼻za& 長z)   ケ∨I
     サ (サ)     ~∃y(鼻ya&長y)                A
     サ (シ)     ~∃y(鼻ya&長y)∨∃z(~鼻za& 長z)   サ∨I
16     (ス)     ~∃y(鼻ya&長y)∨∃z(~鼻za& 長z)   89コサシ∨E
16     (セ)      ∃y(鼻ya&長y)→∃z(~鼻za& 長z)   ス含意の定義
1      (ソ)  ~象a→∃y(鼻ya&長y)→∃z(~鼻za& 長z)   6セCP
      タ(タ)  ~象a&∃y(鼻ya&長y)                A
      タ(チ)  ~象a                           タ&E
1     タ(ツ)      ∃y(鼻ya&長y)→∃z(~鼻za& 長z)   ソチMPP
      タ(テ)      ∃y(鼻ya&長y)                タ&E
1     タ(ト)                 ∃z(~鼻za& 長z)   ツテMPP
1      (ナ)  ~象a&∃y(鼻ya&長y)→∃z(~鼻za& 長z)   タトCP
1      (ニ)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)&
            ~象a&∃y(鼻ya&長y)→∃z(~鼻za& 長z)   4ナ&I
1      (ヌ)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&
            ~象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}  ニUI
(ⅱ)
1       (1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&
             ~象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}  A
1       (2)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)&
             ~象a&∃y(鼻ya&長y)→∃z(~鼻za& 長z)   1UE
1       (3)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)   2&E
1       (4)  ~象a&∃y(鼻ya&長y)→∃z(~鼻za& 長z)   2&E
 5      (5)  ~象a                           A
  6     (6)      ∃y(鼻ya&長y)                A
 56     (7)  ~象a&∃y(鼻ya&長y)                56&I
156     (8)                 ∃z(~鼻za& 長z)   47MPP
15      (9)      ∃y(鼻ya&長y)→∃z(~鼻za& 長z)   68CP
1       (ア)  ~象a→∃y(鼻ya&長y)→∃z(~鼻za& 長z)   59CP
   イ    (イ)  ~象a                           A
1  イ    (ウ)      ∃y(鼻ya&長y)→∃z(~鼻za& 長z)   アイMPP
1  イ    (エ)     ~∃y(鼻ya&長y)∨∃z(~鼻za& 長z)   ウ含意の定義
    オ   (オ)                 ∃z(~鼻za& 長z)   A
     カ  (カ)                    ~鼻ba& 長b    A
      キ (キ)                    ~鼻ba→~長b    A
     カ  (ク)                    ~鼻ba        カ&E
     カキ (ケ)                         ~長b    キクMPP
     カ  (コ)                          長b    カ&E
     カキ (サ)                      ~長b&長b    ケコ&I
     カ  (シ)                  ~(~鼻ba→~長b)   キサRAA
     カ  (ス)                ∃z~(~鼻za→~長z)   シEI
    オ   (セ)                ∃z~(~鼻za→~長z)   オカスEE
    オ   (ソ)                ~∀z(~鼻za→~長z)   セ量化子の関係
    オ   (タ)    ~∃y(鼻ya&長y)∨~∀z(~鼻za→~長z)   ソ∨I
       チ(チ)    ~∃y(鼻ya&長y)                 A
       チ(ツ)    ~∃y(鼻ya&長y)∨~∀z(~鼻za→~長z)   タ∨I
1  イ    (テ)    ~∃y(鼻ya&長y)∨~∀z(~鼻za→~長z)   エオタチツ∨E
1  イ    (ト)    ~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]  テ、ド・モルガンの法則
1       (ナ)~象a→~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]  イトCP
1       (ニ)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)&
           ~象a→~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]  3ナ&I
1       (ヌ)   象a⇔∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}  ニDf.⇔
1       (ネ)∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}  ヌUI
従って、
(16)により、
(17)
① ∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx&長z)}
に於いて、
①=② である。
従って、
(15)(16)(17)により、
(18)
① ∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]→象x}    ⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x→~[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]}⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx&長z)}        ⇔
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyは、xの鼻であって、長く、  すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くなく、
            xが象ではなく、  あるyが  xの鼻であって、長いならば、あるzは、     xの鼻ではなくて、   長い。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
(11)(18)により、
(19)
① 象が鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くなく、象以外は、鼻以外は長くない、といふことはない。⇔
① ∀x{象x⇔∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}         ⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx&長z)}⇔
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyは、xの鼻であって、長く、  すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くなく、
            xが象ではなく、  あるyが  xの鼻であって、長いならば、あるzは、     xの鼻ではなくて、   長い。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(20)
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx&長z)}⇔
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyは、xの鼻であって、長く、  すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くなく、
            xが象ではなく、  あるyが  xの鼻であって、長いならば、あるzは、     xの鼻ではなくて、   長い。
といふことは、
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くないものの、象以外に、鼻が長い動物がゐるのであれば、その動物は、鼻以外も長い。
といふ「意味」である。
従って、
(19)(20)により、
(21)
① 鼻が長く、鼻以外は長くない動物は、象だけである。
といふ「日本語」は、
① 象長い。
といふ「日本語」に、「等しい」。
従って、
(21)により、
(22)
{象、兎、馬}に於いて、
① 象長い。
② 兎長い。
③ 馬長い。
と言ふのであれば、
① 鼻が長く、鼻以外は長くない動物は、象だけである。
② 耳が長く、耳以外は長くない動物は、兎だけである。
③ 顔が長く、顔以外は長くない動物は、馬だけである。
といふ、ことになる。
令和02年正月04日、毛利太。

「鼻が長いのが象である」の「肯定」の「述語論理」。

(01)
「前回(1月1日)」の記事で「計算」を示した通り、
③ ~∀x∀y{(鼻xy&長x)→象y  &  象y→(鼻xy&長x)}
④  ∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(02)
(ⅰ)
1     (1)   ∀x∀y{(鼻xy&長x)→象y&象y→(鼻xy&長x)}    A
1     (2)     ∀y{(鼻ay&長a)→象y&象y→(鼻ay&長a)   1UE
1     (3)        (鼻ab&長a)→象b&象b→(鼻ab&長a)    2UE
1     (4)        (鼻ab&長a)→象b               3&E
 5    (5)        ~象b&(鼻ab&長a)              A
 5    (6)        ~象b                       5&E
15    (7)       ~(鼻ab&長a)                  46MTT
 5    (8)            (鼻ab&長a)              5&E
15    (9)       ~(鼻ab&長a)&(鼻ab&長a)         78&I
1     (ア)      ~{~象b&(鼻ab&長a)}             59RAA
1     (イ)                   象b→(鼻ab& 長a)   3&E
  ウ   (ウ)                   象b&(鼻ab→~長a)   A
  ウ   (エ)                   象b             ウ&E
1 ウ   (オ)                       鼻ab& 長a    イエMPP
  ウ   (カ)                       鼻ab→~長a    ウ&E
1 ウ   (キ)                       鼻ab        オ&E
1 ウ   (ク)                           ~長a    カキMPP
1 ウ   (ケ)                            長a    オ&E
1 ウ   (コ)                        ~長a&長a    クケ&I
1     (サ)                 ~{象b&(鼻ab→~長a)}  ウRAA
1     (シ) ~{象b&(鼻ab→~長a)}&~{~象b&(鼻ab&長a)}  アサ&I
1     (ス) ~{象b&(鼻ab→~長a) ∨  ~象b&(鼻ab&長a)}  シ、ド・モルガンの法則
1     (セ)  ∀y~{象y&(鼻ay→~長a)∨~象y&(鼻ay&長a)}  スUI
1     (ソ)∀x∀y~{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}  セUI
1     (タ)∀x~∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}  ソ量化子の関係
1     (チ)~∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}  タ量化子の関係
(ⅱ)
1     (1)~∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}  A
1     (2)∀x~∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}  1量化子の関係
1     (3)∀x∀y~{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}  1量化子の関係
1     (4)  ∀y~{象y&(鼻ay→~長a)∨~象y&(鼻ay&長a)}  3UE
1     (5)    ~{象b&(鼻ab→~長a)∨~象b&(鼻ab&長a)}  4UE
1     (6) ~{象b&(鼻ab→~長a)}&~{~象b&(鼻ab&長a)}  5ド・モルガンの法則
1     (7) ~{象b&(鼻ab→~長a)}                  6&E
1     (8) ~象b∨~(鼻ab→~長a)                   7ド・モルガンの法則
1     (9)  象b→~(鼻ab→~長a)                   8含意の定義
 ア    (ア)  象b                              A
1ア    (イ)     ~(鼻ab→~長a)                   9アMPP
  ウ   (ウ)      ~鼻ab∨~長a                    A
  ウ   (エ)       鼻ab→~長a                    ウ含意の定義
1アウ   (オ)     ~(鼻ab→~長a)&
               (鼻ab→~長a)                   イエ&I
1ア    (カ)    ~(~鼻ab∨~長a)                   ウオRAA
1ア    (キ)       鼻ab& 長a                    カ、ド・モルガンの法則
1     (ク)    象b→(鼻ab&長a)                   アキCP
1     (ケ)                 ~{~象b&(鼻ab&長a)}  6&E     
   コ  (コ)                   ~象b            A
    サ (サ)                       (鼻ab&長a)   A
   コサ (シ)                   ~象b&(鼻ab&長a)   コサ&I
1  コサ (ス)                 ~{~象b&(鼻ab&長a)}&
                           {~象b&(鼻ab&長a)}  ケシ&I
1  コ  (セ)                      ~(鼻ab&長a)   サスRAA
1     (ソ)                  ~象b→~(鼻ab&長a)   コセCP
1    タ(タ)                       (鼻ab&長a)   A
     タ(チ)                     ~~(鼻ab&長a)   タDN
1    タ(ツ)                 ~~象b             ソチMTT
1    タ(テ)                   象b             ツDN
1     (ト)                  (鼻ab&長a)→象b     タテCP
1     (ナ)        (鼻ab&長a)→象b&象b→(鼻ab&長a)   クト&I
1     (ニ)     ∀y{(鼻ay&長a)→象y&象y→(鼻ay&長a)   ナUI
1     (ヌ)   ∀x∀y{(鼻xy&長x)→象y&象y→(鼻xy&長x)}   ニUI
従って、
(01)(02)により、
(03)
①    ∀x∀y{(鼻xy&長x)→象y  &  象y→(鼻xy&長x)}
②  ~∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}
③  ~∀x∀y{(鼻xy&長x)→象y  &  象y→(鼻xy&長x)}
④ ~~∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}
に於いて、
①=② であるため、必然的に、
③=④ である。
然るに、
(04)
二重否定律(DN)」により、
~~∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}
⑤     ∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}
に於いて、
④=⑤ である。
然るに、
(05)
⑤ ∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}といふ「式」は、すなはち、
⑤「あるxとyについて、yは象であって、xがyの鼻であるならば、xは長くないか、yは象でなくて、xはyの鼻であって、xは長いか、または、その、両方である。」といふ「それ」は、
⑤「鼻が長くない象がゐるかも知れないし、象以外にも鼻が長い動物がゐるかも知れない。」といふ「意味」である。
従って、
(03)(04)(05)により、
(06)
①   ∀x∀y{(鼻xy&長x)→象y  &  象y→(鼻xy&長x)}
② ~∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}
⑤ 鼻が長くない象がゐるかも知れないし、象以外にも鼻が長い動物がゐるかも知れない。
に於いて、、
①=② であって、
② は、
⑤ の「否定」である。
従って、
(06)により、
(07)
① ∀x∀y{(鼻xy&長x)→象y&象y→(鼻xy&長x)}
② 鼻が長くない象はゐないし、象以外に、鼻が長い動物はゐない
に於いて、
①=② である。
然るに、
(08)
① ∀x∀y{(鼻xy&長x)→象y& 象y→(鼻xy&長x)}といふ「式」は、
① ∀x∀y{(鼻xy&長x)⇔象y} といふ「式」と、「同じ」である。
従って、
(07)(08)により、
(09)
① ∀x∀y{(鼻xy&長x)⇔象y}といふ「式」は、
①「鼻が長くない象はゐないし、象以外に、鼻が長い動物はゐない。」といふ「意味」である。
然るに、
(10)
① ∀x∀y{(鼻xy&長x)⇔象y}といふ「式」は、
①「すべてのxとyについて、xがyの鼻であって、xが長いならば、そのときに限って、yは象である。」 といふ「意味」である。
然るに、
(11)
{象、兎、馬}に於いて、
鼻が長いの象である。⇔ 鼻が長いならば、そのときに限って、象である。
耳が長いの兎である。⇔ 耳が長いならば、そのときに限って、兎である。
顔が長いの馬である。⇔ 顔が長いならば、そのときに限って、馬である。
従って、
(10)(11)により、
(12)
① 鼻が長いの象である。⇔
① ∀x∀y{(鼻xy&長x)⇔象y}⇔
① 鼻が長いならば、そのときに限って、象である。⇔
① すべてのxとyについて、xがyの鼻であって、xが長いならば、そのときに限って、yは象である。
といふ「等式」が、成立する。
令和2年正月2日、毛利太。

「鼻が長いのが象である」の「否定」の「述語論理」。

(01)
前回(今日の昼前)は、
鼻は象長い。⇔ 鼻が長いならば、そのときに限って、象である。
耳は兎長い。⇔ 耳が長いならば、そのときに限って、兎である。
顔は馬長い。⇔ 顔が長いならば、そのときに限って、馬である。
としたものの、
(02)
「語順」としては、
鼻が長いの象である。⇔ 鼻が長いならば、そのときに限って、象である。
耳が長いの兎である。⇔ 耳が長いならば、そのときに限って、兎である。
顔が長いの馬である。⇔ 顔が長いならば、そのときに限って、馬である。
とする方が、「正確」である。
従って、
(02)により、
(03)
① 鼻が長いのが象である。の「否定」は、
② 鼻が長いのが象である。ではない。 ⇔
② ~∀x∀y{(鼻xy&長x)⇔象y}⇔
② ~∀x∀y{(鼻xy&長x)→象y&象y→(鼻xy&長x)}⇔
② すべてのxとyについて、xがyの鼻であって、xが長いならば、そのときに限って、yは象である。といふことではない。
といふ風に、書くことが出来る。
然るに、
(04)
(ⅱ)
1      (1)~∀x∀y{(鼻xy&長x)→象y&象y→(鼻xy&長x)}   A
1      (2)∃x~∀y{(鼻xy&長x)→象y&象y→(鼻xy&長x)}   1量化子の関係
1      (3)∃x∃y~{(鼻xy&長x)→象y&象y→(鼻xy&長x)}   2量化子の関係
 4     (4)  ∃y~{(鼻ay&長a)→象y&象y→(鼻ay&長a)}   A
  5    (5)    ~{(鼻ab&長a)→象b&象b→(鼻ab&長a)}   A
  5    (6) ~{(鼻ab&長a)→象b}∨~{象b→(鼻ab&長a)}   5ド・モルガンの法則
   7   (7) ~{(鼻ab&長a)→象b}                  A
    8  (8)  ~(鼻ab&長a)∨象b                   A
    8  (9)   (鼻ab&長a)→象b                   8含意の定義
   78  (ア) ~{(鼻ab&長a)→象b}&
            {(鼻ab&長a)→象b}                  79&I
   7   (イ)~{~(鼻ab&長a)∨象b}                  8アRAA
   7   (ウ)  (鼻ab&長a)&~象b                   イ、ド・モルガンの法則
   7   (エ)   ~象b&(鼻ab&長a)                  ウ、交換法則
   7   (オ)   ~象b&(鼻ab&長a)∨象b&(鼻ab→~長a)     エ∨I
     カ (カ)                 ~{象b→(鼻ab&長a)}  A
      キ(キ)                  ~象b∨(鼻ab&長a)   A
      キ(ク)                   象b→(鼻ab&長a)   キ含意の定義
     カキ(ケ)                 ~{象b→(鼻ab&長a)}&
     カキ(コ)                  {象b→(鼻ab&長a)}  カク&I
     カ (サ)                ~{~象b∨(鼻ab&長a)}  キコRAA
     カ (シ)                  象b&~(鼻ab&長a)   サ、ド・モルガンの法則
     カ (ス)                  象b             シ&E
     カ (セ)                     ~(鼻ab&長a)   シ&E
     カ (ソ)                     ~鼻ab∨~長a    セ、ド・モルガンの法則
     カ (タ)                      鼻ab→~長a    ソ含意の定義
     カ (チ)                  象b&(鼻ab→~長a)   スタ&I
     カ (ツ)     ~象b&(鼻ab&長a)∨象b&(鼻ab→~長a)   チ∨I
   5   (テ)     ~象b&(鼻ab&長a)∨象b&(鼻ab→~長a)   67オカツ∨E
   5   (ト)     象b&(鼻ab→~長a)∨~象b&(鼻ab&長a)   テ交換法則
   5   (ナ)  ∃y{象y&(鼻ay→~長a)∨~象y&(鼻ay&長a)}  トEI
  4    (ニ)  ∃y{象y&(鼻ay→~長a)∨~象y&(鼻ay&長a)}  45ナEE
  4    (ヌ)∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}  ニEI
1      (ネ)∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}  14ヌEE
(ⅲ)
1      (1)∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}  1
 2     (2)  ∃y{象y&(鼻ay→~長a)∨~象y&(鼻ay&長a)}  A
  3    (3)     象b&(鼻ab→~長a)∨~象b&(鼻ab&長a)   A
  3    (4)     ~象b&(鼻ab&長a)∨象b&(鼻ab→~長a)   3交換法則
   5   (5)     ~象b&(鼻ab&長a)                A
   5   (6)     (鼻ab&長a)&~象b                5交換法則
   5   (7)  ~{~(鼻ab&長a)∨象b}                6ド・モルガンの法則
    8  (8)     (鼻ab&長a)→象b                 A
    8  (9)    ~(鼻ab&長a)∨象b                 8含意の定義
   58  (ア)  ~{~(鼻ab&長a)∨象b}&
             {~(鼻ab&長a)∨象b}                79&I
   5   (イ)   ~{(鼻ab&長a)→象b}                8アRAA
   5   (ウ)   ~{(鼻ab&長a)→象b}∨~{象b→(鼻ab&長a)} イ∨I
     エ (エ)                  象b&(鼻ab→~長a)   A
     エ (オ)                  象b             エ&E
     エ (カ)                     (鼻ab→~長a)   エ&E
     エ (キ)                     ~鼻ab∨~長a    カ含意の定義
     エ (ク)                    ~(鼻ab& 長a)   キ、ド・モルガンの法則
     エ (ケ)                  象b&~(鼻ab&長a)   オク&I
      コ(コ)                  象b→ (鼻ab&長a)   A
     エ (サ)                  象b             ケ&E
     エコ(シ)                      (鼻ab&長a)   コサMPP
      コ(ス)                     ~(鼻ab&長a)   ケ&E
     エコ(セ)                      (鼻ab&長a)&
                               ~(鼻ab&長a)   シス&I

     エ (ソ)                 ~{象b→(鼻ab&長a)}  コセRAA
     エ (タ)  ~{(鼻ab&長a)→象b}∨~{象b→(鼻ab&長a)}  セ∨I
  3    (チ)  ~{(鼻ab&長a)→象b}∨~{象b→(鼻ab&長a)}  45ウエタ∨E
  3    (ツ)     ~{(鼻ab&長a)→象b&象b→(鼻ab&長a)}  タ、ド・モルガンの法則
  3    (テ)   ∃y~{(鼻ay&長a)→象y&象b→(鼻ay&長a)}  ツEI
 2     (ト)   ∃y~{(鼻ay&長a)→象y&象y→(鼻ay&長a)}  23テEE
 2     (ナ) ∃x∃y~{(鼻xy&長x)→象y&象y→(鼻xy&長x)}  トEI
1      (ニ) ∃x∃y~{(鼻xy&長x)→象y&象y→(鼻xy&長x)}  12ナEE
1      (ヌ) ∃x~∀y{(鼻xy&長x)→象y&象y→(鼻xy&長x)}  ニ量化子の関係
1      (ネ) ~∀x∀y{(鼻xy&長x)→象y&象y→(鼻xy&長x)}  ヌ量化子の関係
従って、
(04)により、
(05)
② ~∀x∀y{(鼻xy&長x)→象y  &  象y→(鼻xy&長x)}
③   ∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)}
に於いて、すなはち、
② すべてのxとyについて、xがyの鼻であって、xが長いならば、そのときに限って、yは象である。といふことではない。
③ あるxとyについて、yは象であって、xがyの鼻であるならば、xは長くないか、yは象でなくて、xはyの鼻であって、xは長いか、または、その、両方である。
に於いて、
②=③ である。
然るに、
(06)
② すべてのxとyについて、xがyの鼻であって、xが長いならば、そのときに限って、yは象である。といふことではない。
③ あるxとyについて、yは象であって、xがyの鼻であるならば、xは長くないか、yは象でなくて、xはyの鼻であって、xは長いか、または、その、両方である。
といふことは、
② 象であっても、鼻が長くない場合もあるし、象以外にも、鼻が長い動物は、ゐるかも知れない。
③ 象であっても、鼻が長くない場合もあるし、象以外にも、鼻が長い動物は、ゐるかも知れない。
といふ、ことである。
従って、
(02)~(06)により、
(07)
① ∀x∀y{(鼻xy&長x)→象y&象y→(鼻xy&長x)}
② ∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨~象y&(鼻xy&長x)} 
に於いて、従って、
① 鼻が長いのが象である。
② 象であっても、鼻が長くない場合もあるし、象以外にも、鼻が長い動物は、ゐるかも知れない。
に於いて、
① の「否定」は、② であり、
② の「否定」は、① である。
従って、
(08)
② 鼻が長くない象がゐる。ならば、
① 鼻が長いのが象である。とは、言へないし、
① 鼻が長いのが象である。と言ふのであれば、
② 象ではない、鼻が長い動物がゐる。とも、言へない。
といふ、ことになる。
(09)
「説明」は「省略」するものの、
① 鼻長いの象である。
に於いて、
①「の」が、「形式名詞」であるため、
①「鼻」の「が」と、
①「の」の「が」は、「同じ種類の、」ではない
(10)
② ∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨ ~象y&(鼻xy&長x)}  は、
② ∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)∨[~象y&(鼻xy&長x)]} と書く方が、「正確」である。
(11)
② ∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)[~象y&(鼻xy&長x)]} を、仮に、
② ∃x∃y{象y&(鼻xy→~長x)[~象y&(鼻xy&長x)]} とするならば、
②「象であっても、鼻が長くない場合もあるし、象以外にも、鼻が長い動物は、ゐるかも知れない。」ではなく、
②「象であっても、鼻が長くない場合もあるし、象以外にも、鼻が長い動物は、ゐる。」といふ、「意味」になる。
令和2年01月元日、毛利太。
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