「論理式」に付く「括弧・返り点」。 - 返り点に対する「括弧」の用法について提案

「論理式」に付く「括弧・返り点」。

(01)
①  P→ Q
② ~Q→~P
といふ「論理式」は、
① PであるならばQである。
② QでないならばPでない
といふ「意味」である。
然るに、
(02)
① PであるならばQである。
といふ「言ひ方」は、
① Pである場合は、Qである場合に、「含まれる」。
といふ風に、「解する」ことが、出来る。
然るに、
(03)
① PであるならばQである。
② PはQに含まれる。
③ Q以にPは在る。
④ Q以にPは無い。
⑤ QだけがPである。
⑥ QでないならばPでない
(04)
⑥ QでないならばPでない
⑤ QだけがPである。
④ Q以にPは無い。
③ Q以にPは在る。
② PはQに含まれる。
① PであるならばQである。
従って、
(01)~(04)により、
(05)
①  P→ Q
② ~Q→~P
① PであるならばQである。
② QでないならばPでない
に於いて。
①=② である。
然るに、
(06)
1  (1)P→Q           A
2  (2) ~Q           A
3  (3)P             A
13 (4)  Q           13MPP
123(5)~Q&Q          24&I
12 (6)~P            35RAA
1  (7)~Q→~P         26CP
   (8)(P→Q)→(~Q→~P) 17CP 
(07)
1  (1)~Q→~P         A
2  (2) P            A
3  (3)~Q            A
13 (4)~P            13MPP
123(5)~P&P          24&I
12 (6)~~Q           35RAA
12 (7)  Q           6DN
1  (8) P→Q          27CP
   (9)(~Q→~P)→(P→Q) 18CP
従って、
(06)(07)により、
(08)
「命題計算」の「結果」も、
①  P→ Q
② ~Q→~P
に於いて。
①=② である。
cf.
対偶(Contraposition)。
(09)
③ ~(P&~Q)
④ ~(~Q&P)
といふ「論理式」は、
③ PであってQでない。といふことはない
④ QでなくてPである。といふことはない
といふ「意味」である。
然るに、
(10)
③ PであってQでない。といふことはない
④ QでなくてPである。といふことはない
といふことは、
① PであるならばQである。
② QでないならばPでない
といふことに、他ならない。
従って、
(08)(09)(10)により、
(11)
①  P→ Q
② ~Q→~P
③ ~(P&~Q)
④ ~(~Q&P)
① PであるならばQである。
② QでないならばPでない。
③ PであってQでない。といふことはない。
④ QでなくてPである。といふことはない。
に於いて、
①=②=③=④ である。
然るに、
(12)
1 (1) ~Q→~P           A
2 (2)  P&~Q           A
2 (3)    ~Q           2&E
12(4)    ~P           13MPP
2 (5)  P              2&E
12(6)  P&~P           45&I
1 (7)~(P&~Q)          26RAA
  (8)(~Q→~P)→ ~(P&~Q) 17CP
(13)
1  (1)~(P&~Q)         A
2  (2)    ~Q          A
3  (3)  P             A
23 (4)  P&~Q          23&I
123(5)~(P&~Q)&(P&~Q)  14&I
12 (6) ~P             35RAA
1  (7) ~Q→~P          26CP
   (8)~(P&~Q)→ ~Q→~P  17CP
従って、
(08)(12)(13)により、
(14)
「命題計算」の「結果」も、
①  P→ Q
② ~Q→~P
③ ~(P&~Q)
に於いて、
①=②   であって、
  ②=③ である。
然るに、
(15)
1 (1)~(P&~Q)           A
2 (2) ~Q& P            A
2 (3)  P               2&E
2 (4)    ~Q           2&E
2 (5)  P&~Q            34&I
12(6)~(P&~Q)&(P&~Q)   15&I
1 (7)~(~Q&P)          26RAA
  (8)~(P&~Q)→ ~(~Q&P) 17CP
(16)
1 (1)~(~Q&P)          A
2 (2)  P&~Q           A
2 (3)  ~Q             2&E
2 (4)     P           2&E
2 (5)  ~Q&P           34&I
12(6)~(~Q&P)&(~Q&P)   15&I
1 (7)~(P&~Q)          26RR 
  (8)~(~Q&P)→ ~(P&~Q)  17CP
従って、
(14)(15)(16)により、
(17)
「命題計算」の「結果」も、
①  P→ Q
② ~Q→~P
③ ~(P&~Q)
④ ~(~Q&P)
に於いて、
①=②     であって、
  ②=③   であって、
    ③=④ である。
然るに、
(18)
⑤ ~P∨ Q
⑥   Q∨~P
といふ「論理式」は、
⑤ Pでないか、Qである。
⑥ Qであるか、Pでない。
といふ、「意味」である。
然るに、
(19)
⑤ Pである。ならば、
⑤ Pでない。でない
然るに、
(20)
⑤ Pでないか、Qである。
⑤ Pでない。でない
であるれば、
⑤ Qである。
従って、
(19)(20)により、
(21)
⑤ Pでないか、Qである。
⑤ Pである
であれば、
⑤ Qである。
然るに、
(22)
① PであるならばQである。
① Pである
であれば、
① Qである
従って、
(21)(22)により、
(23)
① PであるならばQである。
⑤ Pでないか、Qである。
に於いて、
①=⑤ である。
cf.
弱選言(両立的選言)。
従って、
(11)(17)(18)(23)により、
(24)
①  P→ Q
② ~Q→~P
③ ~(P&~Q)
④ ~(~Q&P)
⑤ ~P∨ Q
① PであるならばQである。
② QでないならばPでない。
③ PであってQでない。といふことはない。
④ QでなくてPである。といふことはない。
⑤ Pでないか、Qである。
に於いて、
①=②=③=④=⑤ である。
然るに、
(25)
1  (1)P→ Q         A
2  (2)P&~Q         A
2  (3)P            2&E
2  (4)  ~Q         2&E
12 (5)Q            13MPP
12 (6)Q&~Q         45&I
1  (7)~P           36RAA
1  (8)~P∨Q         7VI
   (9)(P→Q)→(~P∨Q) 18CP
(26)
1  (1) ~P∨ Q         A
2  (2)  P&~Q         A
2  (3)  P            2&E
4  (4) ~P            A
24 (5)  P&~P         34&I
4  (6)~(P&~Q)        25RAA
2  (7) ~Q            2&E
8  (8)  Q            A
28 (9) ~Q&Q          78&I
8  (ア)~(P&~Q)        29RAA
1  (イ)~(P&~Q)        1468アVE
ウ  (ウ)  P            A
エ  (エ)    ~Q         A
ウエ (オ)  P&~Q         ウエ&I
1ウエ(カ)~(P&~Q)&(P&~Q) イオ
1ウ (キ)   ~~Q         エカRAA
1ウ (コ)     Q         キDN
1  (サ)        P→Q    ウコCP
   (シ)(~P∨Q)→(P→Q)   1サCP
従って、
(25)(26)により、
(27)
①   P→Q
⑤ ~P∨Q
に於いて、
①=⑤ である。
従って、
(17)(27)により、
(28)
「命題計算」の「結果」も、
①  P→ Q
② ~Q→~P
③ ~(P&~Q)
④ ~(~Q&P)
⑤ ~P∨ Q
に於いて、
①=②       であって、
  ②=③     であって、
    ③=④   であって、尚且つ、
      ①=⑤ である。
然るに、
(29)
例へば、
⑤ 男性でないか、日本人である。
⑥ 日本人であるか、男性でない。
に於いて、
⑤=⑥ である。
従って、
(29)により、
(30)
⑤ Pでないか、Qである。
⑥ Qであるか、Pでない。
に於いて、
⑤=⑥ である。
従って、
(24)(30)により、
(31)
①  P→ Q
② ~Q→~P
③ ~(P&~Q)
④ ~(~Q&P)
⑤ ~P∨ Q
⑥   Q∨~P
① PであるならばQである。
② QでないならばPでない。
③ PであってQでない。といふことはない。
④ QでなくてPである。といふことはない。
⑤ Pでないか、Qである。
⑥ Qであるか、Pでない。
に於いて、
①=②=③=④=⑤=⑥ である。
然るに、
(32)
1(1)~P∨Q          A
2(2)~P            A
2(3)Q∨~P          2VI
4(4)   Q          A
4(5)Q∨~P          2VI
1(6)Q∨~P          12345VE
 (7)(~P∨Q)→(Q∨~P) 16CP
(33)
1(1)Q∨~P          A
2(2)  ~P          A
2(3)~P∨Q          2VI
4(4)Q             A
4(5)~P∨Q          4VI
1(6)~P∨Q          12345VE
 (7)(Q∨~P)→(~P∨Q) 16CP
従って、
(28)(33)により、
(34)
「命題計算」の「結果」も、
①  P→ Q
② ~Q→~P
③ ~(P&~Q)
④ ~(~Q&P)
⑤ ~P∨ Q
に於いて、
①=②         であって、
  ②=③       であって、
    ③=④     であって、
      ①=⑤   であって、
        ⑤=⑥ である。
従って、
(31)(34)により、
(35)
「日本語」としても、
「論理学」としても、
①  P→ Q
② ~Q→~P
③ ~(P&~Q)
④ ~(~Q&P)
⑤ ~P∨ Q
⑥   Q∨~P
① PであるならばQである。
② QでないならばPでない。
③ PであってQでない。といふことはない。
④ QでなくてPである。といふことはない。
⑤ Pでないか、Qである。
⑥ Qであるか、Pでない。
に於いて、
①=②=③=④=⑤=⑥ である。
従って、
(35)により、
(36)
①  P→ Q
② ~Q→~P
③ ~(P&~Q)
④ ~(~Q&P)
⑤ ~P∨ Q
⑥   Q∨~P
といふ「論理式」は、
① PであるならばQである。
② QでないならばPでない。
③ PであってQでない。といふことはない。
④ QでなくてPである。といふことはない。
⑤ Pでないか、Qである。
⑥ Qであるか、Pでない。
といふ風に、「読むこと」が、出来る。
然るに、
(37)
任意の表述の否定は、その表述を’(  )’という空所にいれて書くことにしよう。しかし、丸括弧はその内部の表述が連言でないかぎり削除しよう
(W.O.クワイン著、杖下隆英訳、現代論理学入門、1972年、15頁)
従って、
(36)(37)により、
(38)
(  )はその内部の表述が連言でないかぎり削除しよう。
といふことから、
② ~Q→~P
③ ~(P&~Q)
④ ~(~Q&P)
⑤ ~P∨ Q
⑥   Q∨~P
といふ「論理式」は、「連言でなくとも、(  )を削除しない場合は
② ~(Q)→~(P)
③ ~〔P&~(Q)〕
④ ~〔~(Q)&P〕
⑤ ~(P)∨ Q
⑥    Q∨~(P)
といふ風に、「書くこと」になる。
然るに、
(39)
和文の否定は文の最後尾につきます。「・・・ではない」という形式です。すると、直前の語を否定しているのか、文全体を否定しているのか、別の語や句読点を補わない限り区別がつかなくなります(新井紀子、数学は言葉、2009年、123頁)。
従って、
(38)(39)により、
(40)
日本語の否定(~)は文の最後尾につきます。
といふことから、
② ~(Q)→~(P)
③ ~〔P&~(Q)〕
④ ~〔~(Q)&P〕
⑤ ~(P)∨ Q
⑥    Q∨~(P)
といふ「論理式」は、「日本語」としては、
② (Q)~→(P)~
③ 〔P&(Q)~〕~
④ 〔(Q)~&P〕~
⑤ (P)~∨ Q
⑥   Q  ∨(P)~
といふ「語順」でなければ、ならない。
然るに、
(41)
①  P→ Q
② (Q)~→(P)~
③ 〔P&(Q)~〕~
④ 〔(Q)~&P〕~
⑤ (P)~∨ Q
⑥   Q  ∨(P)~
といふ「それ」を、「からへ」、「日本語」で「読む」と、
① PであるならばQである。
② QでないならばPでない。
③ PであってQでない。といふことはない。
④ QでなくてPである。といふことはない。
⑤ Pでないか、Qである。
⑥ Qであるか、Pでない。
といふ、ことになる。
然るに、
(42)
①  P→ Q
② ~Q→~
③ ~P&~一レ
④ ~Q&P
⑤ ~P∨ Q
⑥ Q∨~
といふ「それ」を、「返り点」に従って、「訓読」すると、
① PであるならばQである。
② QでないならばPでない。
③ PであってQでない。といふことはない。
④ QでなくてPである。といふことはない。
⑤ Pでないか、Qである。
⑥ Qであるか、Pでない。
といふ、ことになる。
従って、
(40)(41)(42)により、
(43)
①  P→ Q
② ~(Q)→~(P)
③ ~〔P&~(Q)〕
④ ~〔~(Q)&P〕
⑤ ~(P)∨ Q
⑥    Q∨~(P)
に於ける、

②  ( )  ( )
③  〔   ( )〕
④  〔 ( )  〕
⑤  ( )
⑥       ( )
といふ「括弧」は、
①  P→ Q
② ~Q→~
③ ~P&~一レ
④ ~Q&P
⑤ ~P∨ Q
⑥ Q∨~
に於ける、

② レ レ
③ 二 一レ
④ 二 レ 一
⑤ レ
⑥ レ
といふ「返り点」に、相当する。
従って、
(38)(41)(42)(43)により、
(44)
①  P→ Q
② ~Q→~P
③ ~(P&~Q)
④ ~(~Q&P)
⑤ ~P∨ Q
⑥   Q∨~P
といふ「論理式」を、
① PであるならばQである。
② QでないならばPでない。
③ PであってQでない。といふことはない。
④ QでなくてPである。といふことはない。
⑤ Pでないか、Qである。
⑥ Qであるか、Pでない。
といふ風に、「読むこと」は、「漢文訓読」ならぬ、「論理式訓読」に、他ならない。
cf.
④→⑤
1 (1) ~(~Q&P)        A
2 (2) ~(~P∨Q)        A
3 (3)   ~P           A
3 (4)   ~P∨Q         3VI
23(5) ~(~P∨Q)&(~P∨Q) 24&I
2 (6)  ~~P           35RAA
2 (7)    P           6DN
8 (8)    Q           A
8 (9)   ~P∨Q         8VI
28(ア) ~(~P∨Q)&(~P∨Q) 29&I
2 (イ)   ~Q           8アRAA
2 (ウ)   ~Q&P         7イ&I
12(エ) ~(~Q&P)&(~Q&P) 1ウ&I
1 (オ)~~(~P∨Q)        2エRAA
1 (カ)  (~P∨Q)        オDN
  (キ)~(~Q&P)→(~P∨Q)  1カCP
⑤→④
1 (1)  ~P∨Q          A
2 (2)  ~Q&P          A
3 (3)  ~P            A
2 (4)   P            2&E
23(5)  ~P&P          34&I
 3(6)~(~Q&P)         25RAA
7 (7)   Q            A
2 (8)  ~Q            2&E
27(9)  ~Q&Q          78&I
 7(ア)~(~Q&P)         29RAA
1 (イ)~(~Q&P)         1367アVE
    (ウ)(~P∨Q)→ ~(~Q&P)  1イ
平成29年09月01日、毛利太。
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