「述語論理訓読」。 - 返り点に対する「括弧」の用法について提案

「述語論理訓読」。

(01)
① Pでない。
② Pである。はウソである。
に於いて、
①=② である。
従って、
(01)により、
(02)
① Pでない。でない。
② Pである。はウソである。はウソである。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
② Pである。はウソである。はウソである。
③ Pである。は本当である。
に於いて、
②=③ である。
然るに、
(04)
③ Pである。は本当である。
④ Pである。
に於いて、
③=④ である。
従って、
(02)(03)(04)により、
(05)
① Pでない。でない。
④ Pである。
に於いて、
①=④ である。
従って、
(05)により、
(06)
~~P=P(二重否定律) が、成立する。
然るに、
(07)
以下により、「含意の定義」が成立する。
(a)
1 (1) P→ Q  A
 2(2) P&~Q  A
 2(3) P     2&E
 2(4)   ~Q  2&E
12(5)    Q  13MPP
12(6) Q&~Q  45&I
1 (7)  ~~Q  46RAA
1 (8)    Q  7DN
1 (9)~P∨ Q  8∨I
(b)
1     (1) ~P∨ Q         A
 2    (2)  P&~Q         A
 2    (3)  P            2&E
 2    (4)    ~Q         2&E
  3   (5) ~P            A
 23   (6) ~P& P         25&I
  3   (7)~(P&~Q)        26RAA
   8  (8)     Q         A
 2 8  (9)  Q&~Q         48&I
   8  (ア)~(P&~Q)        29RAA
1     (イ)~(P&~Q)        1578ア∨E
    ウ (ウ)  P            A
     エ(エ)    ~Q         A
    ウエ(オ)  P&~Q         ウエ&I
1   ウエ(カ)~(P&~Q)&(P&~Q) イオ&I
1   ウ (キ)   ~~Q         エカRAA
1   ウ (ク)     Q         キDN
1     (ケ)  P→ Q         ウクCP
加へて、
(08)
以下により、「ド・モルガンの法則」が、成立する。
(a)
1   (1)   P& Q          A
 2  (2)  ~P∨~Q          A
  3 (3)  ~P             A
1   (4)   P             1&E
1 3 (5)  ~P& P          34&I
  3 (6) ~(P& Q)         15RAA
   7(7)     ~Q          A
1   (8)      Q          1&E
1  7(9)  ~Q& Q          78&I
   7(ア) ~(P& Q)         19RAA
 2  (イ) ~(P& Q)         2367ア∨エ
12  (ウ)  (P& Q)&~(P& Q) 1イ&I
1   (エ)~(~P∨~Q)         2ウRAA
(b)
1  (1)~(~P∨~Q)         A
 2 (2)  ~P             A
 2 (3)  ~P∨~Q          2∨I
12 (4)~(~P∨~Q)&(~P∨~Q) 13&I
1  (5) ~~P             24RAA
1  (6)   P             5DN
  7(7)     ~Q          A
  7(8)  ~P∨~Q          7∨I
1 7(9)~(~P∨~Q)&(~P∨~Q) 18&I
1  (ア)    ~~Q          79RAA
1  (イ)      Q          アDN
1  (ウ)    P&Q          6イ&I
(c)
1   (1)   P∨ Q  A
 2  (2)  ~P&~Q  A
  3 (3)   P     A
 2  (4)  ~P     2&E
 23 (5)  ~P& P  34&I
  3 (6)~(~P&~Q) 25RAA
   7(7)      Q  A
 2  (8)     ~Q  2&E
 2 7(9)   Q&~Q  78&I
   7(ア)~(~P&~Q) 29RAA
1   (イ)~(~P&~Q) 1367ア∨E
(d) 
1   (1) ~(~P&~Q)         A
 2  (2) ~( P∨ Q)         A
  3 (3)    P             A
  3 (4)    P∨ Q          3∨I
 23 (5) ~( P∨ Q)&( P∨ Q) 24&I
 2  (6)   ~P             35RAA
   7(7)       Q          A
   7(8)    P∨ Q          7∨I
 2 7(9) ~( P∨ Q)&( P∨ Q) 28&I
 2  (ア)       ~Q          79RAA
 2  (イ)   ~P&~Q          6ア&I
12  (ウ) ~(~P&~Q)&(~P&~Q) 1イ&I
1   (エ)~~( P∨ Q)         2ウRAA
1   (オ)  ( P∨ Q)         エDN
従って、
(06)(07)(08)により、
(09)
「二重否定律、含意の定義、ド・モルガンの法則」が、成立する。
従って、
(09)により、
(10)
次の「推論」は、「正しい」。
(a)
1 (1)~{∀x[ 師x→∃y〔 弟子yx& ~(及yx)〕]} A
1 (2)   ~[ 師a→∃y〔 弟子ya& ~(及ya)〕]  1UE
 3(3)   ~[ 師a→  〔 弟子ba& ~(及ba)〕]  A
 3(4)   ~[~師a∨  〔 弟子ba& ~(及ba)〕]  3含意の定義
 3(5)    ~~師a& ~〔 弟子ba& ~(及ba)〕   4ド・モルガンの法則
 3(6)      師a& ~〔 弟子ba& ~(及ba)    5二重否定律
 3(7)      師a&  〔~弟子ba∨~~(及ba)〕   6ド・モルガンの法則
 3(8)      師a&  〔~弟子ba∨   及ba〕    7二重否定律
 3(9)      師a&  〔 弟子ba→   及ba〕    8含意の定義
 3(ア)      師a&∃y〔 弟子ya→   及ya〕    9EI
1 (イ)      師a&∃y〔 弟子ya→   及ya〕    23アEE
1 (ウ)   ∀x[師x&∃y〔 弟子yx→   及yx〕]   イUI
(b)
1 (1)   ∀x[師x&∃y〔 弟子yx→   及yx 〕   A
1 (2)      師a&∃y〔 弟子ya→   及ya 〕   1UE
 3(3)      師a&  〔 弟子ba→   及ba 〕   A
 3(4)      師a&  〔~弟子ba∨   及ba 〕   3含意の定義
 3(5)      師a& ~〔 弟子ba& ~(及ba)〕   4ド・モルガンの法則
 3(6)    ~~師a& ~〔 弟子ba& ~(及ba)〕   5二重否定律
 3(7)   ~[~師a∨~~〔 弟子ba& ~(及ba)〕]  6ド・モルガンの法則
 3(8)   ~[~師a∨  〔 弟子ba& ~(及ba)〕]  7二重否定律
 3(9)   ~[ 師a→  〔 弟子ba& ~(及ba)〕]  8含意の定義
 3(ア)   ~[ 師a→∃y〔 弟子ya& ~(及ya)〕]  9EI
1 (イ)   ~[ 師a→∃y〔 弟子ya& ~(及ya)〕]  23アEE
1 (ウ)~{∀x[ 師x→∃y〔 弟子yx& ~(及yx)〕]} イUI
従って、
(10)により、
(11)
① ~{∀x[師x→∃y〔弟子yx&~(及yx)〕]}。
②   ∀x[師x&∃y〔弟子yx  →及yx〕]。
に於いて、すなはち、
① 全てのxに於いて、xが師であるならば、或るyはxの弟子であって、yはxに及ばない。といふわけではない。
② 全てのxに於いて、xが師であって、  或るyがxの弟子であるならば、yはxに及ぶ。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(12)
そこで述語論理学では「人間」と「動物」の「包含関係」を表わすのに、
 動物(人間)
と表示する。そしてこれを記号化して
 F(a) または( )を省略して Fa
というように書く。
(沢田允茂、現代論理学入門、1962年、116頁改)
従って、
(11)(12)により、
(13)
① ~{∀x[師x→∃y〔弟子yx&~(及yx)〕]}。
②   ∀x[師x&∃y〔弟子yx  →及yx〕]。
であれば、( )を「省略」しなければ、
③ ~〈∀x{師(x)→∃y[弟子(yx)&~〔及(yx)〕]}〉。
④   ∀x[師(x)&∃y〔弟子(yx)  →及(yx)〕]。
である。
然るに、
(14)

~己∀
従って、
(14)により、
(15)
③ ~x 師 x → ∃y 弟子 yx & ~丙レ xy
③ ~{∀x[師x→∃y〔弟子yx&~(及yx)〕]}=
③ ~〈∀x{師(x)→∃y[弟子(yx)&~〔及(yx)〕]}〉.
に於いて、
③  ~〈 〉⇒〈 〉~
③ ∀x{ }⇒{ }∀x
③  師( )⇒( )師
③ ∃y[ ]⇒[ ]∃y
③ 弟子( )⇒( )弟子
③  ~〔 〕⇒〔 〕~
③  及( )⇒( )及
といふ「移動」を行ふと、
③ ~{∀x[師x→∃y〔弟子yx&~(及yx)〕]}=
③ ~〈∀x{師(x)→∃y[弟子(yx)&~〔及(yx)〕]}〉⇒
③ 〈∀x{師(x)→∃y[弟子(yx)&~〔及(yx)〕]}〉~=
③ 〈{(x)師→[(yx)弟子&〔(yx)及〕~]∃y}∀x〉~=
③ 〈{(xが)師であるならば[(yはxの)弟子であって〔(yはxに)及ば〕ない]といふyが存在するといふことは}必ず正しい〉といふことはない。
といふ、「述語論理訓読」が、成立し、その際に、
③ 己 戊‐ レ 丁‐ 二‐ 一 丙レ 乙 甲
といふ「返り点」は、
③ 〈{ ( )[( )〔( )〕]}〉
といふ「括弧」に、対応する。
然るに、
(16)
③ 〈{(xが)師であるならば[(yはxの)弟子であって〔(yはxに)及ば〕ない]といふyが存在するといふことは}必ず正しい〉といふことはない。
に対して、「代入」を行ふと、例へば、
③ 〈{(杉本七段が)師であるならば[(藤井四段は杉本七段の)弟子であって〔(藤井四段は杉本七段に)及ば〕ない]といふ藤井四段が存在するといふことが}必ず正しい〉といふことはない。
といふ、ことになる。
然るに、
(17)
③ ・ ・ ・ ・ ・。といふことが、必ず正しい。といふことはない。
といふことは、
③ ・ ・ ・ ・ ・。といふことは、必ずしも正しい。といふわけではない。
といふことである。
従って、
(15)(16)(17)により、
(18)
③ ~〈∀x{師(x)→∃y[弟子(yx)&~〔及(yx)〕]}〉。
といふ「論理式」は、例へば、
③ 杉本七段が師匠であるならば、藤井四段は杉本七段の弟子であって、藤井四段は杉本七段に及ばない。といふ藤井四段が存在するといふことは、必ずしも正しい、といふわけはない
といふ「意味」である。
然るに、
(19)
③ 杉本七段に及ばない藤井四段が存在する。といふことは、必ずしも、正しいといふわけではない
といふことは、
③ 杉本七段よりも将棋が強い藤井四段が、存在し得る
といふことである。
〔注〕:「存在し得る。」と「存在する。」とは、「同じ」ではない。
従って、
(18)(19)により、
(20)
③ ~〈∀x{師(x)→∃y[弟子(yx)&~〔及(yx)〕]}〉。
といふ「論理式」は、要するに、
③ 弟子は必ずしも、師匠に及ばないわけではない
といふ「意味」である。
然るに、
(21)
① 弟子不必不一レ如師=
① 弟子不[必不〔如(師)〕]。
に於いて、
① 不[ ]⇒[ ]不
① 不〔 〕⇒〔 〕不
① 如( )⇒( )如
といふ「移動」を行ふと、
① 弟子不[必不〔如(師)〕]⇒
① 弟子[必〔(師)如〕不]不=
① 弟子は[必ずしも〔(師に)如か〕ずんば]あらず=
① 弟子は[必ずしも〔(師に)及ば〕ない]といふわけではない
従って、
(20)(21)により、
(22)
① 弟子不[必不〔如(師)〕]。
③ ~〈∀x{師(x)→∃y[弟子(yx)&~〔及(yx)〕]}〉。
に於いて、
①=③ である。
従って、
(15)(21)(22)により、
(23)
③ ~{∀x[師x→∃y〔弟子yx&~(及yx)〕]}=
③ ~〈∀x{師(x)→∃y[弟子(yx)&~〔及(yx)〕]}〉⇒
③ 〈∀x{師(x)→∃y[弟子(yx)&~〔及(yx)〕]}〉~=
③ 〈{(x)師→[(yx)弟子&〔(yx)及〕~]∃y}∀x〉~=
③ 〈{(xが)師であるならば[(yはxの)弟子であって〔(yはxに)及ば〕ない]といふyが存在するといふことは}必ず正しい〉といふことはない。
に於いて、
③   〈    {  ( )   [  (  )  〔 (  )〕]}〉
といふ「括弧」を、「認める」以上、
① 弟子不[必不〔如(師)〕]⇒
① 弟子[必〔(師)如〕不]不=
① 弟子は[必ずしも〔(師に)如か〕ずんば]あらず=
① 弟子は[必ずしも〔(師に)及ば〕ない]といふわけではない。
に於ける、
①    [  〔 ( )〕]
といふ「括弧」も、「認めない」わけには、いかない。
然るに、
(24)
重要」なのは、
③ ~〈∀x{師(x)→∃y[弟子(yx)&~〔及(yx)〕]}〉。
に於いて、
③ ~
③   ∀x
③           ∃y
③                     ~
といふ「記号」の「意味」が、それぞれ、
③  〈∀x{師(x)→∃y[弟子(yx)&~〔及(yx)〕]}〉
といふ「命題」と、
③     {師(x)→∃y[弟子(yx)&~〔及(yx)〕]}
③             [弟子(yx)&~〔及(yx)〕]
③                      〔及(yx)〕
といふ「命題函数」に及んでゐる
といふ、ことである。
然るに、
(25)
記号の列を書くための普通の規約は、記号を左から右への順に従って、あまり離れないように配置する、ということである。これは現代ヨーロッパ語的な規約であるから、読者は、わたしが本書においてこれに従っているのを見てほっとした気持ちがするであろう。
(E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英訳、論理学初歩、1973年、56・157頁)
従って、
(24)(25)により、
(26)
③ ~〈∀x{師(x)→∃y[弟子(yx)&~〔及(yx)〕]}〉.
といふ「語順」を、「左から右へ、読む。」としても、
③ 〈{(x)師→[(yx)弟子&〔(yx)及〕~]∃y}∀x〉~。
といふ「語順」を、「右から左へ、読む。」としても、
③ 〈{(x)師→[(yx)弟子&〔(yx)及〕~]∃y}∀x〉~。
といふ「語順」を、「左から右へ」、
③ 〈{(xが)師であるならば[(yはxの)弟子であって〔(yはxに)及ば〕ない]といふyが存在するといふことは}必ず正しい〉といふことはない。
といふ風に、読むとしても、実際には、どちらでも良い
従って、
(25)(26)により、
(27)
① 弟子不[必不〔如(師)〕]。
といふ「語順」を、「左から右へ、読む。」としても、
① 弟子[必〔(師)如〕不]不。
といふ「語順」を、「左から右へ」、
① 弟子は[必ずしも〔(師に)及ば〕ない]といふわけではない。
といふ風に、読むとしても、実際には、どちらでも良い
従って、
(26)(27)により、
(28)
① 弟子不必不如師。
といふ「漢文」を、
① 弟子不[必不〔如(師)〕]。
といふ「論理式」であると、見なす限り、
① 弟子は[必ずしも〔(師に)及ば〕ない]といふわけではない。
といふ風に、読むとしても、「何らの問題」も無い。
従って、
(28)により、
(29)
② 倭語不可以読中夏之書審矣。
といふ「漢文(論理式)」を、
② 倭語不可以読中夏之書審矣=
② 倭語不以読中夏之書審矣=
② 倭語不[可〔以読(中夏之書)〕]審矣⇒
② 倭語[〔以(中夏之書)読〕可]不審矣=
② 倭語は[〔以て(中夏之書を)読む〕可から]不ること審かなり矣=
② 日本語は[〔それを用ゐて(中国の書を)読むことが〕出来]ないといふことは明らかである!。
といふ風に、読むとしても、「何らの問題」も無い。
然るに、
(30)
現にラテン語やアラビア語で会話することは今でも可能である。これに対して、漢文はその発生の当初から口語とは乖離した文言文として作られており、中国人にとっても漢文で会話することは、不可能ではないにせ、きわめて困難である(金文京、漢文と東アジア、2010年、14頁)。
(31)
文語体と口語体の区別は、もし簡便な基準を探すとなれば、それは耳で聞いてわかるのが口語体で、目で見なければわからないのが文語体だ、といえる。(「開明文言読本」開明書店、1948、導言)呂叔湘氏は人も知る「中國文法要略」(商務印書館、1942)の著者であり、解放後は中國科学院言語研究所長を勤めている超一流の言語学者であり、文化人である(牛島徳次、中國語の学び方、1977年、60頁)。
然るに、
(32)
「耳で聞いてわかるのが中国語(口語体)で、目で見なければわからないのが漢文(文語体)だ。」といふのであれば、「漢文」は、明らかに、「英語や、ドイツ語や、中国語」のやうな「普通の、言語」ではない。
従って、
(30)(31)(32)により、
(33)
少なくとも、「漢文」に関しては、
吉備公ノ国字ヲ造リ倭語顚倒ノ読ミヲ始メケルハ、後ノ学者ニ甘キ毒を食ラハシメルニアラズヤ。此レ人ノ骨髄ニ淪ミテ除キガタシ。若シコレ除カントオモハバ、華語ヲ習フニシクハナシ。華語トハ中華ノ俗語ナリ、今ノ唐話ナリ。サレバ文学ニ志アラン者ハ必ズ唐話ヲ学ブベキナリ。
(金文京、漢文と東アジア、2010年、77頁)
といふことには、ならない。
従って、
(29)~(33)により、
(34)
② 日本語は[〔以て(中国の書を)読む〕可から]不ること明らかなり!。
といふのであれば、
② 中国語は[〔以て(中国の書を)読む〕可から]不ること明らかなり!。
といふ、ことになる。
然るに、
(35)
『倭読要領』には春台による漢文の序文がついており、「倭語不可以読中夏之書審矣(倭語は以て中夏之書を読むべからざること審かなり)と、その主張が述べられているが。この漢文の序文には皮肉なことに訓点がついているのである。しかも春台自身、この主張とは別に、『四書』に訓点を施している。おそらく訓点廃止を主張はしたものの、それが「骨髄ニ淪ミテ除キガタシ」であることを十分に承知していたのであろう。
(金文京、漢文と東アジア、2010年、77・78頁)
従って、
(33)(34)(35)により、
(36)
荻生徂徠の弟子である、太宰春台は、
② であれば文学に志を持つ者は、必ず唐話(当時の中国語)を学ぶべきである。
② 日本語は[〔以て(中国の書を)読む〕可から]不ること明らかなり!。
といふ風に、述べるものの、その一方で、『大学、中庸、論語、孟子』に「訓点」を施してゐる。
(37)
ド・モルガンが、明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のわくぐみのなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名なま簡単な論証がある。
(1)すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
(1)All horses are animals; therefore all horses' heads are animals'head.
(2)馬の頭であるすべてのモノは動物の頭である。
(2)Anything that is a head of a horse is a head of an animal.
あるモノが馬の頭であるためには、それ(あるモノ)がその馬の頭であるような馬が存在しなければならない。
For something to be a head of a horse there must be some horse of which it is the head;
記号で書くと、aは、∃y(Fy&Hay)であるときまたそのときに限って馬の頭である。
in symboles, a is a head of a head of a horse if and only if ∃y(Fy&Hay)
∃y(Fy&Hay)=或るyは馬であって、aはその馬yの頭である。
〔123〕    ∀x(Fx→Gx)├ ∀x{∃y(Fy&Hxy)→∃y(Gy&Hxy)}
1  (1)   ∀x(Fx→Gx)               A
1  (2)      Fb→Gb                A
 3 (3)   ∃y(Fy&Hay)              A
  4(4)      Fb&Hab               A
  4(5)      Fb                   4&E
  4(6)      Hab                  4&E
1 4(7)      Gb                   26MPP
1 4(8)      Gb&Hab               56&I
1 4(9)   ∃y(Gy&Hay)              8EI
13 (ア)   ∃y(Gy&Hay)              349EE
1  (イ)   ∃y(Fy&Hay)→∃y(Gy&Hay)   3アCP
1  (ウ)∀x{∃y(Fy&Hxy)→∃y(Gy&Hxy)}  イUI
(E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英訳、論理学初歩、1973年、166・167頁を参照。)
然るに、
(38)
(1)All horses are animals; therefore all horses' heads are animals'head.
(2)Anything that is a head of a horse is a head of an animal.
といふ「英語」が、読めなくとも、
1  (1)   ∀x(馬x→動物x)               A
1  (2)      馬b→動物b                A
 3 (3)   ∃y(馬y&頭ay)               A
  4(4)      馬b&頭ab                A
  4(5)      馬b                    4&E
  4(6)      頭ab                   4&E
1 4(7)      動物b                   26MPP
1 4(8)      動物b&頭ab               56&I
1 4(9)   ∃y(動物y&頭ay)              8EI
13 (ア)   ∃y(動物y&頭ay)              349EE
1  (イ)   ∃y(馬y&頭ay)→∃y(動物y&頭ay)   3アCP
1  (ウ)∀x{∃y(馬y&頭xy)→∃y(動物y&頭xy)}  イUI
といふ「論証」が、「正しい」といふことは、「理解」である。
従って、
(37)(38)により、
(39)
∀x(馬x→動物x) ├ ∀x{∃y(馬y&頭xy)→∃y(動物y&頭xy)}
全ての馬は動物である。故に、全てのxに於いて、或るyが馬であって、xがその馬の頭であるならば、或るyは動物であって、xはその動物の頭である。
といふ「述語論理(Predicate logic)」を「理解」する上で、「英語の知識」は、「不用」である。
(40)
「華語トハ中華ノ俗語ナリ、今ノ唐話ナリ。サレバ文学ニ志アラン者ハ必ズ唐話ヲ学ブベキナリ。」といふ太宰春台の「主張」は、「英語を知らなければ、述語論理(Predicate logic)は、理解できない。」といふ「主張」に、似てゐる。
平成29年12月07日、毛利太。
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