「対偶」と「等値」と、「は(∈)」と「が(=)」について。 - 返り点に対する「括弧」の用法について提案

「対偶」と「等値」と、「は(∈)」と「が(=)」について。

(01)
1  (1)  A→ B  仮定
 2 (2)  A&~B  仮定
 2 (3)  A     2&E
 2 (4)    ~B  2&E
12 (5)     B  12前件肯定
12 (6) ~B& B  45&導入
1  (7)~(A&~B) 26背理法
(02)
1  (1)~(A&~B) 仮定
 2 (2)  A     仮定
  3(3)    ~B  仮定
 23(4)  A&~B  23&導入
123(5)~(A&~B)&
       (A&~B) 14&導入
12 (6)   ~~B  35背理法
12 (7)     B  6二重否定
1  (8)  A→ B  27条件法
従って、
(01)(02)により、
(03)
① AであるならばBである。
② AであってBでない。といふことはない。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(04)
② AであってBでない。
③ BでなくてAである。
に於いて、
②=③ である。
cf.
交換法則(Commutative property)
従って、
(03)(04)により、
(05)
② AであってBでない。といふことはない。
③ BでなくてAである。といふことはない。
に於いて、
②=③ である。
然るに、
(06)
1  (1)~(~B& A) 仮定
 2 (2)  ~B     仮定
  3(3)      A  仮定
 23(4)  ~B& A)&
       (~B& A) 14&導入
12 (6)     ~A  35背理法
1  (7)  ~B→~A  26条件法
(07)
1  (1)  ~B→~A  仮定
 2 (2)  ~B& A  仮定
 2 (3)  ~B     2&除去
 2 (4)      A  2&除去
12 (5)     ~A  13前件肯定
12 (6)   A&~A  45&導入
1  (7)~(~B& A) 26背理法
従って、
(06)(07)により、
(08)
③ BでなくてAである。といふことはない。
④ BでないならばAでない。
に於いて、
③=④ である。
従って、
(03)(08)により、
(09)
① AであるならばBである。
② AであってBでない。といふことはない。
③ BでなくてAである。といふことはない。
④ BでないならばAでない。
に於いて、
①=②=③=④ である。
従って、
(09)により、
(10)
① AであるならばBである。
④ BでないならばAでない。
に於いて、
①=④ である。
従って、
(10)により、
(11)
「対偶(Contraposition)」は「等しい」。
cf.
1  (1) A→ B 仮定
 2 (2)   ~B 仮定
  3(3) A    仮定
1 3(4)    B 13前件肯定
123(5)~B& B 24&導入
12 (6)~A    35背理法
1  (7)~B→~A 26条件法
然るに、
(12)
⑤      ( B→ A)
⑥      (~A→~B)
は、「対偶」である。
従って、
(11)(12)により、
(13)
⑤(A→B)&( B→ A)
⑥(A→B)&(~A→~B)
に於いて、
⑤=⑥ である。
従って、
(13)により、
(14)
⑤ AならばBであって、BならばAである。
⑥ AならばBであって、AでないならばBでない。
に於いて、
⑤=⑥ である。
然るに、
(15)
⑤ AならばBであって、BならばAである。
⑥ AならばBであって、AでないならばBでない。
であるならば、そのときに限って、
⑤ A=B
⑥ B=A
である。
従って、
(16)
⑤ AはBであって、BはAである。
⑥ AはBであって、A以外はBでない。
であるならば、そのときに限って、
⑤ A=B
⑥ B=A
である。
従って、
(16)により、
(17)
⑤ 東京都は日本の首都であって、日本の首都は東京都である。
⑥ 東京都は日本の首都であって、東京都以外は日本の首都でない。
であるならば、そのときに限って、
⑤ 東京都=日本の首都
⑥ 日本の首都=東京都
然るに、
(18)
⑥ 東京都は日本の首都であって、東京以外は日本の首都でない。
といふことは、
⑦ 東京都が日本の首都である。
といふことである。
然るに、
(19)
⑤ 東京都は日本の首都であって、日本の首都は東京である。
⑥ 東京都は日本の首都であって、東京以外は日本の首都でない。
⑦ 東京都が日本の首都である。
といふのであれば、
⑧ 東京都は日本の首都である。
従って、
(17)(18)(19)により、
(20)
(1)東京都=日本の首都      は「真(本当)」である。
(2)東京都は日本の首都である。  は「真(本当)」である。
(3)東京都が日本の首都である。  は「真(本当)」である。
(4)日本の首都は東京都である。  は「真(本当)」である。
(5)東京都以外は日本の首都でない。は「真(本当)」である。
然るに、
(21)
(6)小笠原=東京都      は「偽(ウソ)」である。
(7)小笠原は東京都である。  は「真(本当)」である。
(8)小笠原が東京都である。  は「偽(ウソ)」である。
(9)東京都は小笠原である。  は「偽(ウソ)」である。
(A)小笠原以外は東京都でない。は「偽(ウソ)」である。
然るに、
(22)
(2)東京都は日本の首都である。
といふ「日本語」は、
(2)東京都は「唯一の日本の首都」である。
といふ「意味」である。
(23)
(7)小笠原は東京都である。
といふ「日本語」は、
(7)小笠原村は「東京都の、区市町村の一つ」である。
といふ「意味」である。
然るに、
(24)
新宿区、足立区、荒川区、板橋区、江戸川区、大田区、葛飾区、北区、江東区、品川区、渋谷区、杉並区、墨田区、世田谷区、台東区、中央区、千代田区、豊島区、中野区、練馬区、文京区、港区、目黒区、昭島市、あきる野市、稲城市、青梅市、清瀬市、国立市、小金井市、国分寺市、小平市、狛江市、立川市、多摩市、調布市、西東京市、八王子市、羽村市、東久留米市、東村山市、東大和市、日野市、府中市、福生市、町田市、三鷹市、武蔵野市、武蔵村山市、西多摩郡奥多摩町、西多摩郡日の出町、西多摩郡瑞穂町、大島町、八丈町、西多摩郡檜原村、利島村、新島村、神津島村、三宅村、御蔵島村、青ヶ島村、小笠原村。
従って、
(24)により、
(25)
「東京都の区市町村」は、「集合」である。
然るに、
(26)
ここで多少、記号についてのべますと、集合をいちいち{x│P(x)}のような形で表さないで、A={x│P(x)}と置いて、単に集合Aと表現します。
a∈A のとき「aはAの元である」とか「aはAの要素である」といいます。元もしくは要素は、elementの訳です。さらに「aはAに属する」と表現します。
(竹内外文、集合とは何か、2001年、22頁)
従って、
(20)~(27)により、
(26)
(2)東京都は日本の首都である。
(7)小笠原は東京都である。
といふ「日本語」は、
(2)東京都=日本の首都である。
(7)小笠原∈東京都である。
といふ風に、書くことが出来る。
然るに、
(27)
① 理事長は、一人であって、
② 理事 は、数人である。
従って、
(26)(27)により、
(28)
① 私は理事長です。
② 私は理事です。
といふ「日本語」は、
① 私=理事長。
② 私∈理事(集合)。
といふ風に、書くことが出来る。
然るに、
(29)
② 私∈理事(集合)。
ではなく、
① 私=理事長。
であるならば、必然的に、
① 理事長=私。
といふ風に、「逆も真」である。
である。
然るに、
(30)
① 私=理事長。
① 理事長=私。
といふ風に、「逆も真」である以上、
① 私は理事長です。
① 理事長は私です。
といふ風に、「逆も真」である。
然るに、
(31)
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
 理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
 タゴール記念館は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念館」を品評するという心持ちの文である。
(三上章、日本語の論理、1963年、40・41頁)
従って、
(29)(30)(31)により、
(32)
② 私∈理事(集合)。
ではなく、
① 私=理事長。
であるならば、
① 私が理事長です。
であって、
① 私が理事長です。
であるならば、
① 理事長は私です。
といふ、ことになる。
従って、
(32)により、
(33)
② 私∈理事(集合)。
ではなく、
① 私=理事長。
である。といふことを、「確認」したい「気持ち」がある場合には、
② 私は理事長です。
とは、言はずに、
① 私が理事長です。
① 理事長は私です。
といふ風に、言ふことになる。
然るに、
(31)~(33)により、
(34)
三上章先生は、
① 私は理事長です。
といふ「日本語」が、
② 私∈理事長。
ではなく、
① 私=理事長。
であるといふことに、気付いてはゐない。
(35)
① 私は理事長です=
① ∃x{私x&理事長x&∀y[理事長y→(y=x)]}=
① ∃x{私x&理事長x&∀y[~(y=x)→~(理事長y)]}=
① 或るxは私であって、そのxは理事長であって、いかなるyであっても、yがxと同一人物でないならば、yは理事長ではない。
に於いて、
① いかなるyであっても、yがxと同一人物でないならば、yは理事長ではない。
といふことを、「強調」したい場合には、
① 私は理事長です。
とは言はずに、
① 私が理事長です。
といふ風に言ふ、ことになる。
(36)
③ 象は鼻は長い=
③ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(長z→鼻zx)}=
③ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}=
③ 全てのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、全てのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
に於いて、
③ 全てのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
といふことを、「確認」したい場合には、
③ 象は鼻は長い。
とは言はずに、
③ 象は鼻が長い。
といふ風に言ふ、ことになる。
平成30年06月28日、毛利太。
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