「象の鼻」と「述語論理」と「馬の頭」。 - 返り点に対する「括弧」の用法について提案
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「象の鼻」と「述語論理」と「馬の頭」。

(01)
① ∀x(馬x→動x)。
② ∀x{∃y(馬y&頭xy)→∃y(動y&頭xy)}。
といふ「述語論理」は、それぞれ、
① すべてのxについて{xが馬であるならが、xは動物である}。
② すべてのxについて{xが馬である所のあるyの頭であるならば、xは動物である所のあるyの頭である}。
といふ「日本語」に、対応する。
然るに、
(02)
① すべての馬は動物である。
② すべての馬の頭は動物の頭である。
といふことは、
① いかなるxであっても{xが馬であるならが、xは動物である}。
② いかなるxであっても{xが馬である所のあるyの頭であるならば、xは動物である所のあるyの頭である}。
といふことである。
従って、
(01)(02)により、
(03)
① ∀x(馬x→動x)。
② ∀x{∃y(馬y&頭xy)→∃y(動y&頭xy)}。
といふ「述語論理」は、それぞれ、
① いかなるxであっても{xが馬であるならが、xは動物である}。
② いかなるxであっても{xが馬である所のあるyの頭であるならば、xは動物である所のあるyの頭である}。
といふ「日本語」に、対応する。
然るに、
(04)
ド・モルガンが明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名な、また簡単な論証がある。
(1)すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
― 10行、中略、―
123 ∀x(馬x→動x)├ ∀x{∃y(馬y&頭xy)→∃y(動y&頭xy)}
1  (1)   ∀x(馬x→動x)               A
 2 (2)   ∃y(馬y&頭ay)              A
  3(3)      馬b&頭ab               A
  3(4)      馬b                   3&E
  3(5)         頭ab               3&E
1  (6)      馬b→動b                1UE
1 3(7)         動b                46MPP
1 3(8)      動b&頭ab               57&I
1 3(9)   ∃y(動y&頭ay)              8EI
12 (ア)   ∃y(動y&頭ay)              239EE
1  (イ)   ∃y(馬y&頭ay)→∃y(動y&頭ay)   2アCP
1  (ウ)∀x{∃y(馬y&頭xy)→∃y(動y&頭xy)}  イUI
(論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、167頁改)
従って、
(01)~(04)により、
(05)
(1)All horses are animals; therefore all horses' heads are animals' heads.
(〃)すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
といふ「論証」は、「英語」としても、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当(Valid)」である。
(06)
① ∀x{∃y(~象y&鼻xy)→~長x}。
② ∀y{兎y→~象y}。
③ ∀x{∃y( 兎y&鼻xy)→~長x}。
といふ「述語論理」は、
① いかなるxであっても{xが、ある象ではない(動物)である所のyの鼻であるならば、xは長くない}。
② いかなるyであっても{yが兎であるならば、yは象ではない}。
③ いかなるxであっても{xが、ある兎である所のyの鼻であるならば、xは長くない}。
といふ「日本語」に、対応する。
然るに、
(06)
① いかなるxであっても{xが、ある象ではない所のyの鼻であるならば、xは長くない}。
② いかなるyであっても{yが兎であるならば、yは象ではない}。
③ いかなるxであっても{xが、ある兎である所のyの鼻であるならば、xは長くない}。
といふことは、要するに、
① 鼻は象長い。
② すべての兎は象ではない。
③ すべての兎の鼻は長くない。
といふことである。
cf.
① サンマは目黒美味い(サンマは目黒に限る)。⇔
① ∀x{∃y(~目黒y&サンマxy)→~美味x}。⇔
① いかなるxであっても{xが、目黒ではない所のyのサンマであるならば、xは美味くない}。
然るに、
(08)
1   (1)∀x{∃y(~象y&鼻xy)→~長x} A
 2  (2)∀y{兎y→~象y}          A
  3 ()∃y(兎y&鼻ay)          A
1   ()   ∃y(~象y&鼻ay)→~長a  1UE
 2  (5)   兎b→~象b           2UE
   6(6)   兎b&鼻ab           A
   6(7)   兎b               6&E
12 6(8)      ~象b           57MPP
   6(9)      鼻ab           7&E
12 6(ア)      ~象b&鼻ab       89&I
12 6(イ)   ∃y(~象y&鼻ay)      アEI
123 ()   ∃y(~象y&鼻ay)      36イEE
123 ()               ~長a  4ウMPP
12  (オ)   ∃y( 兎y&鼻ay)→~長a  3エCP
12  (カ)∀x{∃y( 兎y&鼻xy)→~長x} オUI
然るに、
(09)
(ウ)の行において、EEが正しく使われていることを知るためには、
(イ)の行をしらべてみる。そこにおいてえられている結論は「b」を含んでいない。もちろん、
(イ)が依存している三つの仮定のうち、代表的選言項である(6)は「b」を含んでいるが、
(1)と(2)は、両方とも、「b」を含んでいない。こうして制限はまもられているのである。
(論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、148頁改)
cf.
UIの適用の際に、「注意」をすれば、良いだけなので、実際には、
12 6(ア)      ~象b&鼻ab       89&I
123 (イ)      ~象b&鼻ab       36ア
123 (ウ)   ∃y(~象y&鼻ay)      36イEE
であっても、「問題」は、生じない。
従って、
(01)~(09)により、
(10)
(a)
1  (1)   ∀x(馬x→動x)               A
 2 (2)   ∃y(馬y&頭ay)              A
  3(3)      馬b&頭ab               A
  3(4)      馬b                   3&E
  3(5)         頭ab               3&E
1  (6)      馬b→動b                1UE
1 3(7)         動b                46MPP
1 3(8)      動b&頭ab               57&I
1 3(9)   ∃y(動y&頭ay)              8EI
12 (ア)   ∃y(動y&頭ay)              239EE
1  (イ)   ∃y(馬y&頭ay)→∃y(動y&頭ay)   2アCP
1  (ウ)∀x{∃y(馬y&頭xy)→∃y(動y&頭xy)}  イUI
といふ、E.J.レモンが行った「計算」を、「手本」にして、私が行った、
(b)
1   (1)∀x{∃y(~象y&鼻xy)→~長x} A
 2  (2)∀y{兎y→~象y}          A
  3 (3)∃y(兎y&鼻ay)          A
1   (4)   ∃y(~象y&鼻ay)→~長a  1UE
 2  (5)   兎b→~象b           2UE
   6(6)   兎b&鼻ab           A
   6(7)   兎b               6&E
12 6(8)      ~象b           57MPP
   6(9)      鼻ab           7&E
12 6(ア)      ~象b&鼻ab       89&I
12 6(イ)   ∃y(~象y&鼻ay)      アEI
123 (ウ)   ∃y(~象y&鼻ay)      36イEE
123 (エ)               ~長a  4ウMPP
12  (オ)   ∃y( 兎y&鼻ay)→~長a  3エCP
12  (カ)∀x{∃y( 兎y&鼻xy)→~長x} オUI
といふ「計算」に、「マチガイ」が無いため、
(1)すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
(2)鼻は象が長い。然るに、すべての兎は象ではない。故に、すべての兎の鼻は長くない。
といふ「論証」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当(Valid)」である。
仮に
(12)
さうではなく、
(a)の「計算」を、「手本」にして行った、
(b)の「計算」に、「マチガイ」があるならば、
(2)鼻は象が長い。然るに、すべての兎は象ではない。故に、すべての兎の鼻は長くない。
といふ「論証」は、「日本語」としては、「妥当(Valid)」であるが、「述語論理」としては「妥当(Valid)」ではない。
といふことになり、それ故、残念なことに、「鼻は象長い。」といふ「日本語」は、「非論理的な表現」である。といふ風に、言はざるを得ない。
平成30年12月01日、毛利太。
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