「象は鼻が長い」の「否定」の「述語論理」。 - 返り点に対する「括弧」の用法について提案
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「象は鼻が長い」の「否定」の「述語論理」。

(01)
① 象は、鼻長い。⇔
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない
従って、
(01)により、
(02)
① 象は鼻が長い。
② ~∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
に於いて、
① の「否定」は、② であり、
② の「否定」は、① である。
然るに、
(03)
(ⅱ)
1     (1)~∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}  A
1     (2)∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}  1量化子の関係
 3    (3)  ~{象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)}  A
  4   (4)   ~象a∨∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)   A
  4   (5)    象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)   4含意の定義
 34   (6)  ~{象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)}&
            {象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)}  35&I
 3    (7) ~{~象a∨∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)}  46RAA
 3    (8)  象a&~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]  7ド・モルガンの法則
 3    (9)  象a                             8&E
 3    (ア)     ~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]  8&E
 3    (イ)     ~∃y(鼻ya&長y)∨~∀z(~鼻za→~長z)   ア、ド・モルガンの法則
 3    (ウ)      ∃y(鼻ya&長y)→~∀z(~鼻za→~長z)   イ含意の定義
   エ  (エ)      ∃y(鼻ya&長y)                 A
 3 エ  (オ)                 ~∀z(~鼻za→~長z)   ウエMPP
 3 エ  (カ)                 ∃z~(~鼻za→~長z)   オ量化子の関係
    キ (キ)                   ~(~鼻ba→~長b)   A
     ク(ク)                      鼻ba∨~長b    A
     ク(ケ)                     ~鼻ba→~長b    ク、含意の定義
    キク(コ)                   ~(~鼻ba→~長b)&
                             (~鼻ba→~長b)   キケ&I
    キ (サ)                    ~(鼻ba∨~長b)   クコRAA
    キ (シ)                     ~鼻ba& 長b    サ、ド・モルガンの法則
    キ (ス)                  ∃z(~鼻za& 長z)   シEI
 3 エ  (セ)                  ∃z(~鼻za& 長z)   カキスEE
 3    (ソ)      ∃y(鼻ya&長y)→ ∃z(~鼻za& 長z)   エセCP
 3    (タ)   象a&∃y(鼻ya&長y)→ ∃z(~鼻za& 長z)   9ソ&I
 3    (チ)∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→ ∃z(~鼻zx& 長z)}  タEI
1     (ツ)∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→ ∃z(~鼻zx& 長z)}  23チEE
(ⅲ)
1     (1)∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→ ∃z(~鼻zx& 長z)}   A
 2    (2)   象a&∃y(鼻ya&長y)→ ∃z(~鼻za& 長z)    A
 2    (3)   象a                             2&E
 2    (4)      ∃y(鼻ya&長y)→ ∃z(~鼻za& 長z)    2&E 
  5   (5)      ∃y(鼻ya&長y)                  A
 25   (6)                  ∃z(~鼻za& 長z)    45MPP
   7  (7)                     ~鼻ba& 長b     A
   7  (8)                    ~(鼻ba∨~長b)    7ド・モルガンの法則
    9 (9)                     ~鼻ba→~長b     A
    9 (ア)                      鼻ba∨~長b     9含意の定義
   79 (イ)                    ~(鼻ba∨~長b)&
                              (鼻ba∨~長b)    8ア&I
   7  (ウ)                   ~(~鼻ba→~長b)    9イRAA
   7  (エ)                 ∃z~(~鼻za→~長z)    ウEI
 25   (オ)                 ∃z~(~鼻za→~長z)    67エEE
 25   (カ)                 ~∀z(~鼻za→~長z)    オ量化子の関係
 2    (キ)      ∃y(鼻ya&長y)→~∀z(~鼻za→~長z)    5カCP
 2    (ク)     ~∃y(鼻ya&長y)∨~∀z(~鼻za→~長z)    キ含意の定義
 2    (ケ)     ~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]   コ、ド・モルガンの法則
 2    (コ)  象a&~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]   3ケ&I
 2    (サ)~{~象a∨[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]}  コ、ド・モルガンの法則
     シ(シ)   象a→ ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)    A
     シ(ス)  ~象a∨[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]   シ含意の定義
 2   シ(セ)~{~象a∨[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]}&
           ~象a∨[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)]   サス&I
 2    (ソ)  ~{象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)}   シセRAA
 2    (タ)∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}   ソEI
1     (チ)∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}   12タEE
1     (ツ)~∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}   チ量化子の関係
従って、
(03)により、
(04)
② ~∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
③   ∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}
に於いて、
②=③ である。
従って、
(02)(03)(04)により、
(05)
① 象は鼻が長い。
② ~∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
③   ∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}。
において、
① の「否定」は、② であり、
②=③ である。
従って、
(02)(05)により、
(06)
① 象は鼻が長い。
③ ∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}⇔
③ あるxが象であり、あるyがxの鼻であって、長いならば、あるzはxの、鼻以外であって、長い。
に於いて、
① の「否定」は、③ であり、
③ の「否定」は、① である。
然るに、
(07)
③ あるxが象であり、あるyがxの鼻であって、長いならば、あるzはxの、鼻以外であって、長い。
といふことは、
③ 象(x)は、鼻(y)は長く、鼻以外(z)も長い。
といふ、ことである。
従って、
(06)(07)により、
(08)
① 象は、鼻が長い。
③ 象は、鼻は長く、 鼻以外も長い。
④ 象は、鼻は長いが、鼻以外も長い。といふわけではない。
に於いて、
① の「否定」は、③ であり、
③ の「否定」は、④ である。
従って、
(08)により、
(09)
「二重否定律(DN)」により、
① 象は、鼻が長い。
④ 象は、鼻は長いが、鼻以外も長い。といふわけではない。
に於いて、
①=④ である。
然るに、
(10)
④ 象は、鼻は長いが、鼻以外も長い。といふわけではない。
といふことは、
④ 象は、鼻は長く、 鼻以外は長くない。
といふ、ことである。
然るに、
(01)により、
(11)
もう一度、確認すると、
① 象は、鼻が長い。⇔
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
従って、
(05)(10)(11)により、
(12)
①  ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
④ ~∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}
に於いて、
①=④ でなければ、ならない。
然るに、
(13)
(ⅰ)
1   (1) ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
1   (2)    象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  1UE
 3  (3) ∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)} A
  4 (4)    象a&∃y(鼻ya&長y)→∃z(~鼻za& 長z)  A
  4 (5)    象a                          4&E
  4 (6)       ∃y(鼻ya&長y)→∃z(~鼻za& 長z)  4&E
1 4 (7)       ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  25MPP
1 4 (8)       ∃y(鼻ya&長y)               7&E
1 4 (9)                  ∀z(~鼻za→~長z)  7&E
1 4 (ア)                  ∃z(~鼻za& 長z)  68MPP
1 4 (イ)                     ~鼻ba→~長b   9UE
   ウ(ウ)                     ~鼻ba& 長b   A
   ウ(エ)                     ~鼻ba       ウ&E
   ウ(オ)                           長b   ウ&E
1 4ウ(カ)                          ~長b   イエMPP
1 4ウ(キ)                       長b&~長b   オカ&I
1 4 (ク)                       長b&~長b   アウキEE
13  (ケ)                       長b&~長b   34クEE
1   (コ)~∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)} 3ケRAA
(ⅳ)
1     (1)~∃x{象x& ∃y(鼻yx&長y) →∃z(~鼻zx& 長z)}  A
1     (2)∀x~{象x& ∃y(鼻yx&長y) →∃z(~鼻zx& 長z)}  1量化子の関係
1     (3)  ~{象a& ∃y(鼻ya&長y) →∃z(~鼻za& 長z)}  2UE
 4    (4)  ~[象a& ∃y(鼻ya&長y)]∨∃z(~鼻za& 長z)   A
 4    (5)    象a& ∃y(鼻ya&長y) →∃z(~鼻za& 長z)   4含意の定義
14    (6)  ~{象a& ∃y(鼻ya&長y) →∃z(~鼻za& 長z)}&
            {象a& ∃y(鼻ya&長y) →∃z(~鼻za& 長z)}  35&I
1     (7)~{~[象a& ∃y(鼻ya&長y)]∨∃z(~鼻za& 長z)}  46RAA
1     (8)    象a& ∃y(鼻ya&長y)&~∃z(~鼻za& 長z)   7ド・モルガンの法則
  9   (9)    象a&~∃y(鼻ya&長y)                 A
  9   (ア)       ~∃y(鼻ya&長y)                 9&E
1     (イ)        ∃y(鼻ya&長y)                 8&E
1 9   (ウ)       ~∃y(鼻ya&長y)&∃y(鼻ya&長y)      アイ&I
1     (エ)  ~[象a&~∃y(鼻ya&長y)]                ウRAA
   オ  (オ)    象a                             A
    カ (カ)       ~∃y(鼻ya&長y)                 A
   オカ (キ)    象a&~∃y(鼻ya&長y)                 オカ&I
1  オカ (ク)  ~[象a&~∃y(鼻ya&長y)]&           
            [象a&~∃y(鼻ya&長y)]                エキ&I
1  オ  (ケ)      ~~∃y(鼻ya&長y)                 カクRAA
1  オ  (コ)        ∃y(鼻ya&長y)                 ケDN
1     (サ)     象a→∃y(鼻ya&長y)                 オコCP
1     (シ)                   ~∃z(~鼻za& 長z)   8&E
1     (ス)                   ∀z~(~鼻za& 長z)   シ量化子の関係
1     (セ)                     ~(~鼻ba& 長b)   スUE
1     (ソ)                        鼻ba∨~長b    セ、ド・モルガンの法則
1     (タ)                       ~鼻ba→~長b    ソ含意の定義
1     (チ)                    ∀z(~鼻za→~長z)   タUI
     ツ(ツ)     象a                            A
1    ツ(テ)        ∃y(鼻ya&長y)                 サツMPP
1    ツ(ト)        ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)    チテ&I
1     (ナ)     象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)    ツトCP
1     (ニ)  ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}   ナUI
従って、
(13)により、
(14)
①  ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
④ ~∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}
に於いて、すなはち、
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
④ あるxが象であって、あるyがxの鼻であって、yが長いならば、あるzが、xの、鼻以外であって、長い。といふことはない。
に於いて、
①=④ である。
従って、
(01)~(14)により、
(15)
①  ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
② ~∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
③   ∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}
④ ~∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}
に於いて、
①=④ であり、それ故、「二重否定律(DN)」により、
②=③ である。
令和元年12月07日、毛利太。
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